- Даны множества
$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$
$A = \{ x \mid x^{3}– 26x^{2} + 144x = 0 \},$
$B = \{ 3, 9, 10, 12, 18 \}, \quad C = \{ 9, 15, 16, 19 \}.$
а) Найти множества:
$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$
$P = (B \cup C) \setminus A;$
$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$
б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$
- Проверить справедливость равенства $A \times (C \Delta B) = (A \times C) \cup (A \times (B \setminus C))$ для множеств: $A = \{5, 9\}$, $B = \{6, 9\}$, $C = \{5, 6\}$.
- Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{f, c, g, b, i\}$; $Y = \{1, 2, 3\}$; $G = \{(f, 3), (c, 3), (g, 1), (b, 1), (i, 2)\}$; $A = \{i, b\}$; $B = \{3, 2\}$.
- Дано множество музыкальных альбомов. Исследовать отношение «быть выпущенным в одном году» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
- Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:
$$\overline{\left( (x \land y) \vee \left( \overline{z} \rightarrow x \right) \right)} \oplus \left( \left( \overline{x} \oplus z \right) \land \left( y \leftrightarrow \overline{z} \right) \right)$$
- С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул
$(p | q) \downarrow (r \rightarrow s)$ и $\left( \overline{p} \vee \overline{q} \right) \land \overline{\left( \overline{r} \vee s \right)}$.
- Приведите выражение $\left( \overline{x \vee (y \leftrightarrow z)} \right) \land \left( x \rightarrow \overline{z} \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.
- На ферме 9 коров и 5 коз. Нужно выбрать 4 животных для участия в сельскохозяйственной выставке. Сколько способов выбора, если: а) все выбранные — коровы; б) три коровы и одна коза; в) хотя бы одна коза; г) ровно 2 козы.
- Найти $x$ и $y$ из данной пропорции
$$C_{x + 4}^{y + 2}:C_{x + 3}^{y + 1}:C_{x + 2}^{y} = 55:35:13$$