Вариант-4 | РГР Кратные интегралы

1. Изменить порядок интегрирования

$\int_{0}^{1}dy\int_{-\sqrt y}^{0}f\left(x;y\right)dx+\int_{1}^{\sqrt2}dy\int_{-\sqrt{2-y^2}}^{0}{f\left(x;y\right)dx.}$

2. Вычислить интеграл по заданной области интегрирования

$\ \iint_{D}\left(9x^2y^2+48x^3y^3\right)dxdy\ \ D:x=1;y=\sqrt x;y=-x^2$

3. Вычислить интеграл по заданной области интегрирования

$\iint_{D}{y^2\cdot\sin{\frac{xy}{2}}dxdy\ }\ D:x=0;y=\sqrt\pi;\ y=\frac{x}{2}$

4. Вычислить интеграл по заданной области интегрирования

$\iiint_{V}\frac{dxdydz}{\left(1+\frac{x}{6}+\frac{y}{4}+\frac{z}{16}\right)^5}\ \ V:\frac{x}{6}+\frac{x}{4}+\frac{z}{16}=1;x=0;y=0;z=0$

5. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями

$\ x=\sqrt{36-y^2}\ ;x=6-\sqrt{36-y^2}$

6. Найти массу плоской пластины, ограниченной данными линиями, если задана ее плотность $\rho=\rho\left(x;y\right)$

$\ x^2+y^2=9;x^2+y^2=16;x=0;y=0\ \left(x\geq0;y\geq0\right)$

$\rho\left(x;y\right)=\frac{2x+5y}{x^2+y^2}$

7. Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями

$y=5\sqrt x;y=\frac{5x}{3};z=0;z=5+\frac{5\sqrt x}{3}$

8. Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями

$\ z=12\sqrt{x^2+y^2};\ z=28-x^2-y^2$

9. Найти координаты центра тяжести плоской пластины, ограниченной данными линями, если ее плотностью $\rho=\rho\left(x;y\right)$

$\ x=2;y=0;y^2=2x\left(y\geq0\right);\ \ \rho=7x^2+3y$

10. Найти массу тела, ограниченного данными поверхностями, если задана плотность $\mu=\mu\left(x;y;z\right)$

$x^2+y^2=\frac{16}{49}z^2;x^2+y^2=\frac{4}{7}z;x=0;y=0;\ \left(x\geq0;y\geq0\right);$

$\mu=80yz$