fbpx

Числовые характеристики дискретной случайной величины


Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

\sum_{i=1}^n x_{i} \cdot p_{i}=x_{1} \cdot p_{1}+x_{2} \cdot p_{2}+\cdots +x_{n} \cdot p_{n}

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

    \[M(C)=C\]

2. Постоянную можно выносить за знак математического ожидания:

    \[M(CX)=CM(X)\]

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

    \[M(X_1 \cdot X_2 \cdot ... \cdot X_n)=M(X_1)\cdot M(X_2)\cdot ... \cdot M(X_n)\]

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

    \[M(X_1 + X_2 + ... + X_n)=M(X_1) + M(X_2) + ... + M(X_n)\]

(для разности аналогично)

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

    \[D(X)=M{[X-M(X)]}^2\]

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

    \[D(X)=M(X^2)-{[M(X)]}^2\]

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

    \[D(C)=0\]

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

    \[D(CX)=C^2D(X)\]

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

    \[D(X_1 \pm X_2 \pm ... \pm X_n)=D(X_1) + D(X_2) + ... + D(X_n)\]

4.

    \[D(X+C)=D(X)\]

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

    \[\sigma (X) =\sqrt{D(X)}\]

Рассмотрим следующие задачи.

1. Математическое ожидание и дисперсия СВ Х соответственно равны 0,5 и 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 2X-3.

Решение.

Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии, получаем:

    \[M(2X-3)=M(2X)+M(-3)=2M(X)-3=2\cdot \frac12-3=1-3=-2\]

    \[D(2X-3)=4\cdot D(X)=4\cdot 5=20\]

2. Случайные величины X и Y независимы, причем D(X)=3 и D(Y)=5. Найти D(Z), если Z=4\cdot X- 5 \cdot Y +3.

Решение.

На основании свойств дисперсии получаем:

    \[D(Z)=D(4\cdot X- 5 \cdot Y +3)=16\cdot D(X)+25\cdot D(Y)=16\cdot 3+25\cdot 5=48+125=173\]

3. Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения

x_i 1 2 3 4
p_i \frac18 \frac14 \frac13 c

Найти: c,\quad M(X), \quad D(X), \quad \sigma (X), \quad P\{X<3\}.

1) Так как \sum_{i=1}^4 p_i =1, т.е. \frac18 +\frac14 +\frac13+c=1, следовательно

    \[c=1-\frac18 -\frac14 -\frac13=\frac{24-3-6-8}{24}=\frac{7}{24}\]

Т.о. закон распределения примет вид

x_i 1 2 3 4
p_i \frac18 \frac14 \frac13 \frac{7}{24}

    \[M(X)=\sum_{i=1}^4 x_i \cdot p_i=1\cdot \frac18+2\cdot \frac14+3\cdot \frac13+4\cdot \frac{7}{24}=\frac18+\frac12+1+\frac76=\]

    \[=\frac{3+12+24+28}{24}=\frac{67}{24};\]

2) Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

    \[D(X)=M(X^2)-{[M(X)]}^2\]

Сначала найдем математическое ожидание ДСВ Х2 для этого составим закон распределения этой СВ. Напоминаю, что для этого необходимо каждое значение ДСВ Х возвести в квадрат, а вероятности оставляем прежними. При одинаковых значениях ДСВ вероятности складываем.

    \[M(X^2)=1\cdot \frac18+4\cdot \frac14+9\cdot \frac13+16\cdot \frac{7}{24}=\frac18+1+3+\frac{14}{3}=\frac{3+96+112}{24}=\frac{211}{24};\]

    \[D(X)=\frac{211}{24}-{\left(\frac{67}{24}\right)}^2=\frac{24\cdot 211-{67}^2}{{24}^2}=\frac{5064-4489}{576}=\frac{575}{576};\]

3) Найдем среднее квадратическое отклонение:

    \[\sigma (X) =\sqrt{D(X)}=\sqrt{\frac{575}{576}}=\frac{5\sqrt{23}}{24}\]

4)

    \[P\{X<3\}=P\{X=1\}+P\{X=2\}=\frac18+\frac14=\frac38\]

4. Функция распределения ДСВ Х имеет вид

    \[F(x)=\{ 0, \qquad \qquad x\le 0 \\ 0,2, \qquad 0< x \le 1, \\ 0,6, \qquad \qquad 1< x \le 2 \\ 0,9, \qquad \qquad 2< x \le 3 \\ 1, \qquad \qquad x>3\]

Найти:

    \[M(X), \quad M(X^2) \quad D(X), \quad \sigma (X).\]

Решение.

Составляем закон распределения ДСВ Х (т.е. выполняем операцию обратную той, которую мы делали в предыдущей статье)

x_i 0 1 2 3
p_i 0,2 0,4 0,3 0,1

    \[M(X)=0\cdot 0,2+1\cdot 0,4+2\cdot 0,3+3\cdot 0,1=0,4+0,6+0,3=1,3\]

Составляем закон распределения ДСВ X^2

x_i^2 0 1 4 9
p_i 0,2 0,4 0,3 0,1

    \[M(X^2)=0\cdot 0,2+1\cdot 0,4+4\cdot 0,3+9\cdot 0,1=0,4+1,2+0,9=2,5\]

    \[D(X)=M(X^2)-{[M(X)]}^2=2,5-{1,3}^2=2,5-1,69=0,81\]

    \[\sigma (X)=\sqrt{0,81}=0,9\]

5. Независимые случайные величины X и Y заданы таблицами распределения вероятностей

x_i^2 10 20
p_i 0,2 0,8
y_i^2 30 40 50
p_i 0,5 0,3 0,2

Найти D(X+Y) двумя способами:

1. Составив предварительно таблицу распределения СВ Z=X+Y;

2. Используя правило сложения дисперсий.

Решение.

Составим таблицу распределения ДСВ Z=X+Y.

Найдем z_{ij}=x_i+y_{j}

10+30=40 20+30=50
10+40=50 20+40=60
10+50=60 20+50=70
Т.о. значения ДСВ Z таковы: z_1=40,\quad z_2=50,\quad z_3=60,\quad z_4=70

Найдем соответствующие им вероятности:

    \[p_1=P\{Z=40\}=P\{X=10, Y=30\}=0,2\cdot 0,5=0,1\]

    \[p_2=P\{Z=50\}=P\{X=10, Y=40\}+P\{X=20, Y=30\}=\]

    \[=0,2\cdot 0,3+0,8\cdot 0,5=0,06+0,4=0,46\]

    \[p_3=P\{Z=60\}=P\{X=10, Y=50\}+P\{X=20, Y=40\}=\]

    \[=0,2\cdot 0,2+0,8\cdot 0,3=0,04+0,24=0,28\]

    \[p_4=P\{Z=70\}=P\{X=20, Y=50\}=0,8\cdot 0,2=0,16\]

Получаем ряд распределения СВ Z

z_i^2 40 50 60 70
p_i 0,1 0,46 0,28 0,16

    \[M(Z)=\sum_{i=1}^4 z_i \cdot p_i=40\cdot 0,1+50\cdot 0,46+60\cdot 0,28+70\cdot 0,16=4+23+16,8+11,2=55;\]

    \[M(Z^2)=\sum_{i=1}^4 z_i^2 \cdot p_i=1600\cdot 0,1+2500\cdot 0,46+3600\cdot 0,28+4900\cdot 0,16=\]

    \[=160+1150+1008+784=3102;\]

    \[D(Z)=M(Z^2)-{[M(Z)]}^2=3102-3025=77\]

2. Используя правило сложения дисперсий:

    \[D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)\]

    \[D(X)=M(X^2)-{[M(X)]}^2\]

    \[M(X)=10\cdot 0,2+20\cdot 0,8=2+16=18;\]

    \[M(X^2)=100\cdot 0,2+400\cdot 0,8=20+320=340;\]

    \[M(Y)=30\cdot 0,5+40\cdot 0,3+50\cdot 0,2=15+12+10=37\]

    \[M(Y^2)=900\cdot 0,5+1600\cdot 0,3+2500\cdot 0,2=450+480+500=1430\]

    \[D(Y)=1430-1369=61\]

    \[D(Z)=16+61=77\]

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: