Числовые характеристики дискретной случайной величины

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

$\sum_{i=1}^n x_{i} \cdot p_{i}=x_{1} \cdot p_{1}+x_{2} \cdot p_{2}+\cdots +x_{n} \cdot p_{n}$

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

$M(C)=C$

2. Постоянную можно выносить за знак математического ожидания:

$M(CX)=CM(X)$

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

$M(X_1 \cdot X_2 \cdot ... \cdot X_n)=M(X_1)\cdot M(X_2)\cdot ... \cdot M(X_n)$

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

$M(X_1 + X_2 + ... + X_n)=M(X_1) + M(X_2) + ... + M(X_n)$

(для разности аналогично)

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

$D(X)=M{[X-M(X)]}^2$

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

$D(X)=M(X^2)-{[M(X)]}^2$

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

$D(C)=0$

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

$D(CX)=C^2D(X)$

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

$D(X_1 \pm X_2 \pm ... \pm X_n)=D(X_1) + D(X_2) + ... + D(X_n)$

$D(X+C)=D(X)$

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

$\sigma (X) =\sqrt{D(X)}$

Рассмотрим следующие задачи.

1. Математическое ожидание и дисперсия СВ Х соответственно равны 0,5 и 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины $2X-3$ .

Решение.

Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии, получаем:

$M(2X-3)=M(2X)+M(-3)=2M(X)-3=2\cdot \frac12-3=1-3=-2$

$D(2X-3)=4\cdot D(X)=4\cdot 5=20$

2. Случайные величины X и Y независимы, причем $D(X)=3$ и $D(Y)=5$ . Найти $D(Z)$ , если $Z=4\cdot X- 5 \cdot Y +3$ .

Решение.

На основании свойств дисперсии получаем:

$D(Z)=D(4\cdot X- 5 \cdot Y +3)=16\cdot D(X)+25\cdot D(Y)=16\cdot 3+25\cdot 5=48+125=173$

3. Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения

$x_i$	1	2	3	4
$p_i$	$\frac18$	$\frac14$	$\frac13$	$c$

Найти: $c,\quad M(X), \quad D(X), \quad \sigma (X), \quad P\{X<3\}.$

1) Так как $\sum_{i=1}^4 p_i =1$ , т.е. $\frac18 +\frac14 +\frac13+c=1$ , следовательно

$c=1-\frac18 -\frac14 -\frac13=\frac{24-3-6-8}{24}=\frac{7}{24}$

Т.о. закон распределения примет вид

$x_i$	1	2	3	4
$p_i$	$\frac18$	$\frac14$	$\frac13$	$\frac{7}{24}$

$M(X)=\sum_{i=1}^4 x_i \cdot p_i=1\cdot \frac18+2\cdot \frac14+3\cdot \frac13+4\cdot \frac{7}{24}=\frac18+\frac12+1+\frac76=$

$=\frac{3+12+24+28}{24}=\frac{67}{24};$

2) Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

$D(X)=M(X^2)-{[M(X)]}^2$

Сначала найдем математическое ожидание ДСВ Х2 для этого составим закон распределения этой СВ. Напоминаю, что для этого необходимо каждое значение ДСВ Х возвести в квадрат, а вероятности оставляем прежними. При одинаковых значениях ДСВ вероятности складываем.

$M(X^2)=1\cdot \frac18+4\cdot \frac14+9\cdot \frac13+16\cdot \frac{7}{24}=\frac18+1+3+\frac{14}{3}=\frac{3+96+112}{24}=\frac{211}{24};$

$D(X)=\frac{211}{24}-{\left(\frac{67}{24}\right)}^2=\frac{24\cdot 211-{67}^2}{{24}^2}=\frac{5064-4489}{576}=\frac{575}{576};$

3) Найдем среднее квадратическое отклонение:

$\sigma (X) =\sqrt{D(X)}=\sqrt{\frac{575}{576}}=\frac{5\sqrt{23}}{24}$

$P\{X<3\}=P\{X=1\}+P\{X=2\}=\frac18+\frac14=\frac38$

4. Функция распределения ДСВ Х имеет вид

$\begin{displaymath} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x\le 0, \\ 0,2, & 0< x \le 1,\\ 0,6, & 1< x \le 2,\\ 0,9, & 2< x \le 3,\\ 1, & x>3. \end{array} \right. \end{displaymath}$