Законы распределения непрерывных случайных величин.
I. Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a;b], если ее плотность вероятности f (x) постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю:
Тот факт, что СВ Х распределена равномерно, записывают коротко так:
К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся те СВ, о которых известно, что все их значения лежат внутри некоторого промежутка [a;b] и при этом одинаково возможны. Например, время ожидания транспорта, ошибка, получающаяся от округления результата измерения до ближайшего целого числа, и т.д.
Функция распределения F (x) для равномерно распределенной СВ Х имеет вид
Если СВ Х распределена равномерно на отрезке [a;b], то вероятность попадания СВ Х на отрезок , целиком содержащийся внутри отрезка [a;b] находится по формуле:
Числовые характеристики равномерного распределения:
Практический материал
1.1. Плотность вероятности НСВ Х имеет вид
Найти:
Решение.
Коэффициент В найдем, используя следующее свойство плотности вероятности:
Используя формулу Бинома-Ньютона, получаем
Следовательно
Итак, плотность распределения СВ Х имеет вид:
Следовательно, СВ Х распределена на отрезке [0;2]. Функция распределения для СВ имеет вид:
Числовые характеристики этого распределения таковы:
Вероятность попадания СВ Х в промежуток [0; 1,2] находим, используя формулу
1.2. Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00. Время ожидания звонка есть непрерывная СВ Х, имеющая равномерное распределение на отрезке [19, 20]. Найти вероятность того, что звонок поступит в промежутке от 19 часов 22 минут до 19 часов 46 минут.
Решение.
При переводе минут в часы необходимо помнить, что в одном часе 60 минут, поэтому 19 часов 22 минуты равно , 19 часов 46 минуты равно
.
Вероятность попадания СВ Х в промежуток
находим, используя формулу
1.3. Случайная величина Х, распределенная равномерно, имеет следующие числовые характеристики . Найти
.
Решение.
Тогда получаем
Таким образом, функция распределения имеет вид:
II. Показательное распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет показательное (или экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятности имеет вид
где - параметр данного распределения.
Функция распределения СВ Х, распределенной по показательному закону, находится по формуле
Числовые характеристики этого распределения определяются равенствами:
Вероятность попадания СВ Х в заданный промежуток [a,b] будем вычислять по формуле:
Практический материал
2.1. Время T выхода из строя радиостанции подчинено показательному закону распределения с плотностью
Найти:
1. Функцию распределения ;
2. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины T;
3. Вероятность того, что радиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 часов работы.
Решение.
Из плотности распределения видно, что параметр , тогда
2.1. СВ Х распределена по показательному закону с параметром . Найти дифференциальную и интегральную функции распределения (т. е.
),
, а также вероятность попадания значений СВ Х в интервал (0,25; 5).
Решение.
III. Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону или по закону Гаусса), если ее плотность имеет вид
График функции называется кривой Гаусса
Тот факт, что СВ Х распределена по нормальному закону, записывают коротко, так: .
Параметры и
представляют собой соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение СВ Х, т.е.
Отсюда
Функция распределения нормального закона выражается формулой
где функция
— называется функцией Лапласа.
Свойства функции Лапласа:
1. , т. е. функция
- нечетная. Отсюда, в частности, следует, что
;
2. .
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал определяется формулой
Вероятность попадания СВ в интервал
, симметричный относительно центра рассеяния а, находится по формуле
В частности, , т. е. практически достоверно, что СВ
принимает свои значения в промежутке
. Это утверждение называется «правилом трех сигм».
Практический материал
3.1. Плотность вероятностей СВ Х имеет вид
Найти:
Решение.
Преобразуем заданную плотность, выделив полный квадрат в показателе степени:
На этом наши преобразования не заканчиваются:
Сравнив данную плотность
с плотностью
нормального распределения, заключаем, что СВ Х имеет нормальное распределение.
Проанализировав плотность распределения для нашего случая можно заключить, что .
Значение коэффициента с найдем из равенства:
Следовательно, плотность распределения СВ Х имеет вид
найдем, используя формулу
. В нашем случае
. Поэтому
Используя формулу
находим, что
воспользовавшись
3.2. Определить закон распределения СВ Х, если ее плотность вероятности имеет вид
Найти:
а)
б)
в) значение коэффициента А;
г)
д)
3.3. Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.
Решение.
Воспользуемся формулой
В нашем случае , поэтому
Для функции распределения в показательном законе ошибочка: f (x)=1-e^(-bX)*
Спасибо. Единица в формуле, набранной в латехе, стояла, но почему-то при преобразовании формулы в картинку не отобразилась. Исправил.