Законы распределения НСВ

Законы распределения непрерывных случайных величин.

Содержание

I. Равномерное распределение
Практический материал
II. Показательное распределение
Практический материал
III. Нормальное распределение
Практический материал

I. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a;b], если ее плотность вероятности f (x) постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю:

$\begin{displaymath} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{b-a}, & x\in [a,b]\\ 0, & x\notin [a,b] \end{array} \right. \end{displaymath}$

Тот факт, что СВ Х распределена равномерно, записывают коротко так:

$X \sim [a,b].$

К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся те СВ, о которых известно, что все их значения лежат внутри некоторого промежутка [a;b] и при этом одинаково возможны. Например, время ожидания транспорта, ошибка, получающаяся от округления результата измерения до ближайшего целого числа, и т.д.

Функция распределения F (x) для равномерно распределенной СВ Х имеет вид

$\begin{displaymath} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x\le a\\ \frac{x-a}{b-a}, & a< x \le b,\\ 1, & b<x. \end{array} \right. \end{displaymath}$

Если СВ Х распределена равномерно на отрезке [a;b], то вероятность попадания СВ Х на отрезок $[\alpha, \beta]$ , целиком содержащийся внутри отрезка [a;b] находится по формуле:

$P\{X\in [\alpha, \beta]\}=\frac{\beta-\alpha}{b-a}.$

Числовые характеристики равномерного распределения:

$M(X)=\frac{a+b}{2}$

$D(X)=\frac{{(b-a)}^2}{12}$

$\sigma (X)=\sqrt {D(X)}$

Практический материал

1.1. Плотность вероятности НСВ Х имеет вид

$\begin{displaymath} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0,5 \cdot B, & x\in [0,2]\\ 0, & x\notin [0,2] \end{array} \right. \end{displaymath}$

Найти: $B,\qquad F(x), \qquad M(X), \qquad D(X), \qquad \sigma (X), \qquad P\{X\in [0;1,2]\}$

Решение.

Коэффициент В найдем, используя следующее свойство плотности вероятности:

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx=1$

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx=\int_{-\infty}^{0} 0 dx + \int_{0}^{2} 0,5\cdot B dx +\int_{2}^{+\infty} 0 dx=1$

$0+\int_{0}^{2} 0,5\cdot B dx+0=1$

$0,5\cdot B \int_{0}^{2} dx=1$

$0,5\cdot B\cdot x |_0^2=1$

Используя формулу Бинома-Ньютона, получаем

$0,5\cdot B (2-0)=1$

Следовательно

$B=1$

Итак, плотность распределения СВ Х имеет вид:

$\begin{displaymath} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0,5, & x\in [0,2]\\ 0, & x\notin [0,2] \end{array} \right. \end{displaymath}$

Следовательно, СВ Х распределена на отрезке [0;2]. Функция распределения для СВ $X \sim R [0,2]$ имеет вид:

$\begin{displaymath} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x\le0;\\ \frac{x}{2}, & 0<x\le2;\\ 1, & x>2. \end{array} \right. \end{displaymath}$

Числовые характеристики этого распределения таковы:

$M(X)=\frac{a+b}{2}=\frac{0+2}{2}=1$

$D(X)=\frac{{(b-a)}^2}{12}=\frac{4}{12}=\frac13$

$\sigma (X)=\sqrt {D(X)}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Вероятность попадания СВ Х в промежуток [0; 1,2] находим, используя формулу

$P\{X\in [\alpha, \beta]\}=\frac{\beta-\alpha}{b-a}=\frac{1,2-0}{2}=0,6.$

1.2. Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00. Время ожидания звонка есть непрерывная СВ Х, имеющая равномерное распределение на отрезке [19, 20]. Найти вероятность того, что звонок поступит в промежутке от 19 часов 22 минут до 19 часов 46 минут.

Решение.

При переводе минут в часы необходимо помнить, что в одном часе 60 минут, поэтому 19 часов 22 минуты равно $19\frac{22}{60}=19\frac{11}{30}$ , 19 часов 46 минуты равно $19\frac{46}{60}=19\frac{23}{30}$ .

Вероятность попадания СВ Х в промежуток

$\left[19\frac{11}{30}, 19\frac{23}{30}\right]$

находим, используя формулу

$P\{X\in [19\frac{11}{30}, 19\frac{23}{30}]\}=\frac{19\frac{23}{30} - 19\frac{11}{30}}{20-19}=\frac{\frac{12}{30}}{1}=0,4.$

1.3. Случайная величина Х, распределенная равномерно, имеет следующие числовые характеристики $M(X)=2, \qquad D(X)=3$ . Найти $F(x)$ .

Решение.

$M(X)=\frac{a+b}{2}; D(X)=\frac{{(b-a)}^2}{12}$

Тогда получаем

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{a+b}{2}=2; \\ \frac{{(b-a)}^2}{12}=3; \end{array} \right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{ll} a+b=4; \\ {(b-a)}^2=36; \end{array} \right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{ll} a=4-b; \\ {(b-4+b)}^2=36. \end{array} \right. \end{displaymath}$

$2b-4=6$

$2b=10$

$b=5, a=4-b, a=-1$

Таким образом, функция распределения имеет вид:

$\begin{displaymath} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x\le -1\\ \frac{x+1}{6}, & -1< x \le 5,\\ 1, & 5<x. \end{array} \right. \end{displaymath}$

II. Показательное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет показательное (или экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятности имеет вид

$\begin{displaymath} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda\cdot e^{-\lambda\cdot x}, & x\ge 0\\ 0, & x<0, \end{array} \right. \end{displaymath}$

где $\lambda>0$ - параметр данного распределения.

Функция распределения СВ Х, распределенной по показательному закону, находится по формуле

$\begin{displaymath} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \ 1- e^{-\lambda\cdot x}, & x\ge 0;\\ 0, & x<0. \end{array} \right. \end{displaymath}$

Числовые характеристики этого распределения определяются равенствами:

$M(X)=\frac{1}{\lambda}, \qquad D(X)=\frac{1}{{\lambda}^2}, \qquad \sigma (X)=\frac{1}{\lambda}$

Вероятность попадания СВ Х в заданный промежуток [a,b] будем вычислять по формуле:

$P\{a\le X \le b\} = \int_a^b f(x) dx$

Практический материал

2.1. Время T выхода из строя радиостанции подчинено показательному закону распределения с плотностью

$\begin{displaymath} f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 0,2\cdot e^{-0,2\cdot t}, & t\ge 0;\\ 0, & t<0. \end{array} \right. \end{displaymath}$

Найти:

1. Функцию распределения $F(t)$ ;

2. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины T;

3. Вероятность того, что радиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 часов работы.

Решение.

Из плотности распределения видно, что параметр $\lambda=0,2$ , тогда

$\begin{displaymath} f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1-e^{-0,2\cdot t}, & t\ge 0;\\ 0, & t<0. \end{array} \right. \end{displaymath}$

$M(T)=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{0,2}=5;$

$D(T)=\frac{1}{{\lambda}^2}=\frac{1}{{0,2}^2}=25;$

$\sigma (X)=\frac{1}{\lambda}=5;$

$P\{a\le T \le b\} =P\{1\le T \le 5\}= \int_1^5 0,2\cdot e^{-0,2\cdot t}dt= \\ =0,2\cdot \left(\frac{1}{-0,2}\right)\cdot e^{-0,2\cdot t}|_1^5=-e^{-0,2\cdot 5}-\left(-e^{-0,2\cdot 1}\right)=-e^{-1}+e^{-0,2}\approx 0,451.$

2.1. СВ Х распределена по показательному закону с параметром $\lambda=0,4$ . Найти дифференциальную и интегральную функции распределения (т. е. $f(x), F(x)$ ), $\sigma(X)$ , а также вероятность попадания значений СВ Х в интервал (0,25; 5).

Решение.

$\begin{displaymath} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0,4 \cdot e^{-0,4 \cdot x, & x\ge 0;\\ 0, & x<0. \end{array} \right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1- e^{-0,4\cdot x}, & x\ge 0;\\ 0, & x<0. \end{array} \right. \end{displaymath}$

$P\{0,25\le X \le 5\} =\int_{0,25}^5 0,4 \cdot e^{-0,4 \cdot x} dx=-e^{-0,4\cdot x}|_{0,25}^5=$

$=-e^{-2}+e^{-0,1}=-\frac{1}{7,29}+\frac{1}{1,1}=-0,14+0,91=\approx 0,77.$

$M(X)=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{0,4}=2,5$

$D(X)=\frac{1}{{\lambda}^2}=\frac{1}{{0,4}^2}=6,25$

$\sigma(X)=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{0,4}=2,5$

III. Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону или по закону Гаусса), если ее плотность имеет вид

$f(x)=\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \pi}}\cdot e^{-\frac{{(x-a)}^2}{2{\sigma}^2}}$

График функции $f(x)$ называется кривой Гаусса

Тот факт, что СВ Х распределена по нормальному закону, записывают коротко, так: $X \sim N(a,\sigma)$ .

Параметры $a$ и $\sigma$ представляют собой соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение СВ Х, т.е.

$M(X)=a,\qquad \sigma(X)=\sigma.$

Отсюда

$D(X)={\sigma}^2.$

Функция распределения нормального закона выражается формулой

$F(x)=0,5+\Phi\left(\frac{x-a}{\sigma}\right)$

где функция

$\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\cdot \int_0^x e^{-\frac{t^2}{2}}dt$

— называется функцией Лапласа.

Свойства функции Лапласа:

1. $\Phi(-x)=-\Phi(x)$ , т. е. функция $\Phi(x)$ - нечетная. Отсюда, в частности, следует, что $\Phi(0)=0$ ;

2. $\Phi(+\infty)=0,5$ .

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал $(\alpha, \beta)$ определяется формулой

$P(\alpha<X<\beta)=\Phi\left(\frac{\beta - a}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{\alpha - a}{\sigma}\right)$

Вероятность попадания СВ $X \sim N(a,\sigma)$ в интервал $(a-\epsilon, \quad a+\epsilon)$ , симметричный относительно центра рассеяния а, находится по формуле

$P\{a-\epsilon<X<a+\epsilon\}=P\{|X-a|<\epsilon\}=2\Phi\left(\frac{\epsilon}{\sigma}\right)$

В частности, $P\{|X-a|<3\sigma\}\approx 0,9973$ , т. е. практически достоверно, что СВ $X \sim N(a,\sigma)$ принимает свои значения в промежутке $(a-3\sigma,\qquad a+3\sigma)$ . Это утверждение называется «правилом трех сигм».

Практический материал

3.1. Плотность вероятностей СВ Х имеет вид

$f(x)=c\cdot e^{-2x^2-\frac43x+\frac13}$

Найти: $M(X), D(X), c, M(X^2), F(x), P\{-\frac13<X<\frac23\}.$

Решение.

Преобразуем заданную плотность, выделив полный квадрат в показателе степени:

$-2x^2-\frac43x+\frac13=-2\left(x^2+\frac23x-\frac16\right)=-2\left(x^2+2\cdot\frac13 \cdot x+\frac19-\frac19-\frac16\right)=$

$=-2\left({\left(x+\frac13\right)}^2-\frac{5}{18}\right)=-2{\left(x+\frac13\right)}^2+\frac{5}{9};$

На этом наши преобразования не заканчиваются:

$f(x)=c\cdot e^{-2{\left(x+\frac13\right)}^2+\frac{5}{9}}=c\cdot e^{\frac59}\cdot e^{-2{\left(x+\frac13\right)}^2}=$

$=c\cdot e^{\frac59}\cdot e^{\frac{{\left(x+\frac13\right)}^2}{-0,5}}=c \cdot e^{\frac59}\cdot e^{-\frac{{\left(x+\frac13\right)}^2}{2\cdot {0,5}^2}}$

Сравнив данную плотность

$f(x)=c \cdot e^{\frac59}\cdot e^{-\frac{{\left(x+\frac13\right)}^2}{2\cdot {0,5}^2}}$

с плотностью

$f(x)=\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \pi}}\cdot e^{-\frac{{(x-a)}^2}{2{\sigma}^2}}$

нормального распределения, заключаем, что СВ Х имеет нормальное распределение.

Проанализировав плотность распределения для нашего случая можно заключить, что $M(X)=-\frac13,\qquad \sigma(X)=\frac12, \qquad D(X)=\frac14$ .

Значение коэффициента с найдем из равенства:

$c \cdot e^{\frac59}=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$

$c =\frac{1}{e^{\frac59}\cdot \frac{\sqrt{2\pi}}{2}}$

Следовательно, плотность распределения СВ Х имеет вид

$f(x)=\frac{1}{e^{\frac59}\cdot \frac{\sqrt{2\pi}}{2}} \cdot e^{\frac59}\cdot e^{-\frac{{\left(x+\frac13\right)}^2}{2\cdot {0,5}^2}}=\frac{1}{\frac12\cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{{\left(x+\frac13\right)}^2}{2\cdot {0,5}^2}}$

$M(X^2)$ найдем, используя формулу $D(X)=M(X^2)-{(M(X))}^2$ . В нашем случае $M(X)=-\frac13, \qquad D(X)={(\sigma(X))}^2=\frac14$ . Поэтому

$M(X^2)=D(X)+{(M(X))}^2=\frac14+\frac19=\frac{13}{36}.$

Используя формулу

$P(\alpha<X<\beta)=\Phi\left(\frac{\beta - a}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{\alpha - a}{\sigma}\right)$

находим, что

$P(-\frac13<X<\frac23)=\Phi\left(\frac{\frac23 + \frac13}{\frac12}\right)-\Phi\left(\frac{-\frac13 +\frac13}{\frac12}\right)=\Phi(2)-\Phi(0)\approx 0,4773,$

воспользовавшись

$F(x)=0,5+\Phi\left(\frac{x-a}{\sigma}\right),$

$F(x)=0,5+\Phi\left(\frac{x+\frac13}{\frac12}\right)=0,5+\Phi\left(2x+\frac23\right).$

3.2. Определить закон распределения СВ Х, если ее плотность вероятности имеет вид

$f(x)=A\cdot e^{-x^2+2x+1}$

Найти:

а) $M(X);$

б) $\sigma(X);$

в) значение коэффициента А;

г) $M(X^2);$

д) $P\{1<X<3\}.$

3.3. Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром $\sigma=20$ мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.

Решение.

Воспользуемся формулой

$P\{|X-a|<\epsilon\}=2\Phi\left(\frac{\epsilon}{\sigma}\right)$

В нашем случае $\sigma=20, \qquad \epsilon=25$ , поэтому

$P\{|X-a|<25}=2\Phi\left(\frac{25}{20}\right)=2\Phi(1,25)=2\cdot 0,3944=0,7888.$

Комментарии: 2

Emmanyilchik 13.04.2020 в 16:21

Для функции распределения в показательном законе ошибочка: f (x)=1-e^(-bX)*

Ответить
1. Ищанов Т.Р. (автор) 14.04.2020 в 07:00
  
  Спасибо. Единица в формуле, набранной в латехе, стояла, но почему-то при преобразовании формулы в картинку не отобразилась. Исправил.
  
  Ответить

Добавить комментарий