Неопределенные интегралы
Интегралы от тригонометрических функций во многих ситуациях удается рационализировать либо существенно упростить. Рассмотрим шесть наиболее типичных случаев. I. Универсальная тригонометрическая подстановка Пример 1.1 (8.5.21) Для решения данного интеграла
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Правильные и неправильные дроби Рациональной дробью называется выражение вида , где P (x) и Q (x) — многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P
Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле: где — непрерывно дифференцируемые функции. Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Применять ее целесообразно, когда интеграл в
Найти интегралы, используя таблицу интегралов: 1. (8.1.2) Решение. Согласно формуле 2 таблицы интегралов получаем: где 2. (8.1.3) Решение. В данном случае также
Метод подстановки (замены переменной интегрирования) в неопределенном интеграле. Пусть требуется вычислить интеграл при этом функции φ'(x) и f (x) непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с
С помощью метода замены переменной интегрирование иррациональных дробей сводится к интегрированию рациональной дроби. Пример 8.4.6 Решение. Сделаем замену , тогда . Исходный интеграл примет вид: Выражение,
Важнейшие свойства интегрирования. Первообразная функция. Пусть функция f (x) определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале (a,b). Тогда функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a,b), если