fbpx

Интегрирование рациональных дробей

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Правильные и неправильные дроби

Рациональной дробью называется выражение вида \frac{P(x)}{Q(x)}, где P (x) и Q (x) — многочлены.

Рациональная дробь \frac{P(x)}{Q(x)} называется правильной, если степень многочлена P (x) в ее числителе меньше степени многочлена Q (x) в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Всякая неправильная рациональная дробь \frac{P(x)}{Q(x)} с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду

    \[\frac{P(x)}{Q(x)}P_0(x)+\frac{P_1(x)}{Q_1(x)},\]

где P_0(x) — многочлен (целая часть при делении), а \frac{P_1(x)}{Q_1(x)} — правильная рациональная дробь (остаток).

Поэтому

    \[\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx=\int P_0(x)dx+\int\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}dx.\]

Так как интеграл \int P_0(x)dx вычисляется элементарно (сводится к сумме табличных), то интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей.

Разложение правильной дроби на простейшие дроби

Правильные дроби следующих четырех типов называются простейшими (или элементарными) дробями:

    \[I. \qquad \frac{A}{x-a};\]

    \[II. \qquad \frac{A}{{(x-a)}^k},\qquad (k=2,3,4,\cdots);\]

    \[III. \qquad \frac{Ax+B}{x^2+px+q};\]

    \[IV. \qquad \frac{Ax+B}{{(x^2+px+q)}^n}\qquad (n=2,3,4,\cdots).\]

При этом предполагается, что A, B, p, q — действительные числа, а квадратный трехчлен x^2+px+q в дробях III и IV типов не имеет действительных корней (т. е. p^2-4q<0). Каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей указанных четырех типов. А именно: если знаменатель данной правильной дроби \frac{P(x)}{Q(x)} разложен на не повторяющиеся линейные и квадратные множители

    \[Q(x)={(x-a_1)}^{k_1}\cdot {(x-a_2)}^{k_2} \cdot\ldots\cdot {(x-a_n)}^{k_n}\cdot{(x^2+p_1x+q_1)}^{r_1}\cdot\ldots\]

    \[\ldots\cdot {(x^2+p_mx+q_m)}^{r_m},\]

где k_1,k_2,\ldots ,k_n,r_1,r_2,\ldots ,r_m — натуральные числа, то эту дробь можно представить в виде следующей суммы простейших:

\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_1}{{(x-a_1)}^{k_1}}+\frac{A_2}{{(x-a_1)}^{k_1-1}}+\frac{A_{k_1}}{(x-a_1)}+\ldots +\frac{B_1x+C_1}{{(x^2+p_1x+q_1)}^{r_1}}+

+\frac{B_2x+C_2}{{(x^2+p_1x+q_1)}^{r_1-1}}+\frac{B_{r_1}x+C_{r_1}}{{(x^2+p_1x+q_1)}}+\ldots.

Коэффициенты A_1, A_2,\ldots , B_1, C_1, \ldots ,B_{r_1},C_{r_1},\ldots в разложении находятся с помощью метода неопределенных коэффициентов или метода частных значений. Общее число этих коэффициентов равно степени многочлена Q (x). Таким образом, интегрируя правильную дробь, мы сначала раскладываем ее на сумму простейших, а затем интегрируем каждое слагаемое в этом разложении. Вычисляя интегралы от простейших дробей, надо иметь в виду, что:

I. Простейшие дроби первых двух типов — почти табличные:

    \[1.   \int\frac{A}{x-a}dx=A\cdot ln\mid x-a \mid +C,\]

Замечание: \int\frac{A}{mx-a}dx=\frac{A}{m}\cdot ln\mid mx-a \mid +C,

 

    \[2.   \int\frac{A}{{(x-a)}^k}dx=\frac{A}{1-k}\cdot \frac{1}{{(x-a)}^{k-1}}+C,\qquad k\ne 1,\]

Замечание: \int\frac{A}{{(mx-a)}^k}dx=\frac{A}{m(1-k)}\cdot \frac{1}{{(mx-a)}^{k-1}}+C,\qquad k\ne 1.

II. При интегрировании простейшей дроби третьего типа необходимо выделить полный квадрат из выражения x^2+px+q и сделать соответствующую подстановку.

    \[x^2+px+q=x^2+2\cdot \frac{p}{2}\cdot x+{\left(\frac{p}{2}\right)}^2+\left[q-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2\right]=\\=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+\left(q-\frac{p^2}{4}\right).\]

Последнее выражение в скобках, по предположению, есть число положительное, его можно положить равным a^2, если взять

    \[a=+\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}.\]

Теперь прибегнем к подстановке x +\frac{p}{2}=t, тогда

dx=dt;        x^2+px+q=t^2+a^2;    Mx+N=Mt+\left(N-\frac{Mp}{2}\right).

Таким образом будем иметь:

    \[\int\frac{Mx+N}{x^2+px+q}dx=\int\frac{Mt+\left(N-\frac{Mp}{2}\right)}{t^2+a^2}dt=\frac{M}{2}\int\frac{2tdt}{t^2+a^2}+\]

    \[+\left(N-\frac{Mp}{2}\right)\int\frac{dt}{t^2+a^2}=\frac{M}{2}ln(t^2+a^2)+\frac{1}{a}\left(N-\frac{Mp}{2}\right)arctg\frac{t}{a}+C,\]

или, возвращаясь к x и подставляя вместо a его значение:

    \[\int\frac{Mx+N}{x^2+px+q}dx=\frac{M}{2}ln(x^2+px+q)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C.\]

Вывод. При интегрировании дробей третьего типа в общем виде получаем сумму натурального логарифма и арктангенса.

Пример.(8.3.6)

    \[\int\frac{x+6}{x^2-2x+17}dx=\]

выделим полный квадрат в знаменателе дроби и сделаем соответствующую подстановку

    \[=\bigg|^{ x^2-2x+17=x^2-2\cdot 1\cdot x+17=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)-1+17={(x-1)}^2+16;}_{   x-1=t, dx=dt, x=t+1}\bigg|=\]

    \[=\int\frac{x+6}{{(x-1)}^2+16}dx=\int\frac{t+7}{t^2+16}dt\]

почленно разделив числитель на знаменатель, получаем

    \[\int\left(\frac{t}{t^2+16}+\frac{7}{t^2+16}\right)dt,\]

используя свойство интегралов (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций), применяя метод подстановки для первого интеграла и формулу 9 таблицы интегралов ко второму, получаем

    \[\int\frac{t}{t^2+16}dt+\int\frac{7}{t^2+16}dt=\left|m=t^2+16, dm=2tdt,  tdt=\frac12 dm\right|=\]

    \[=\frac12 \int\frac{dm}{m}+\int\frac{7}{t^2+4^2}dt=\frac12 ln|m|+\frac74 arctg\frac{t}{4}+C.\]

Далее возвращаясь к первоначальной переменной х получаем (в первом выражении сначала к переменной t, а потом к х):

    \[\frac12 ln|t^2+16|+\frac74 arctg\frac{x-1}{4}+C=\frac12 ln(x^2-2x+17)+\frac74 arctg\frac{x-1}{4}+C.\]

Далее рассмотрим интегрирование правильных дробей, которые представляются в виде суммы простейших дробей указанных четырех типов

    \[1.  \int\frac{7x+4}{(x-3)(x+2)}dx\]

Подынтегральная дробь — правильная. Разложим ее на сумму простейших дробей первого типа:

    \[\frac{7x+4}{(x-3)(x+2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}.\]

Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А и В, приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю, откуда

    \[\frac{7x+4}{(x-3)(x+2)}=\frac{A(x+2)+B(x-3)}{(x-3)(x+2)},\]

т.е.

    \[7x+4=A(x+2)+B(x-3).\qquad\qquad (*)\]

Из полученного равенства можно найти коэффициенты А и В двумя способами: с помощью метода неопределенных коэффициентов или метода частных значений. Рассмотрим оба способа.

1. Метод неопределенных коэффициентов. Раскрываем скобки в правой части равенства (*) и сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

    \[7x+4=(A+B)x+(2A-3B).\]

Так как многочлены в обоих частях полученного равенство тождественно равны, то у них должны быть равны и коэффициенты при соответствующих степенях переменной х. Сравнивая эти коэффициенты, получаем систему двух уравнений:

    \begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{ll} A+B=7,\\ 2A-3B=4. \end{array} \right. \end{displaymath}

Решая эту систему, найдем А=5;  В=2.

2. Метод частных значений. Придадим неизвестной х в равенстве (*) частное значение х=3. Тогда получим

    \[7\cdot 3+4=A\cdot (3+2),\]

т. е. 25=5A, откуда получаем А=5. Подставляя теперь в уравнение (*) значение х=-2 (удобнее всего подставлять значения, обращающие одну или несколько скобок в правой части равенства в ноль; эти значения совпадают с действительными корнями знаменателя подынтегральной дроби), получим

    \[7\cdot (-2) +4=B\cdot (-2-3),\]

откуда В=2. Таким образом,

    \[\frac{7x+4}{(x-3)(x+2)}=\frac{5}{x-3}+\frac{2}{x+2}\]

тогда,

    \[\int\frac{7x+4}{(x-3)(x+2)}dx=5\int\frac{dx}{x-3}+2\int\frac{dx}{x+2}=5ln|x-3|+2ln|x+2|+C.\]

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
ischanow.com
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: