Интегрирование рациональных дробей

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Правильные и неправильные дроби

Рациональной дробью называется выражение вида $\frac{P(x)}{Q(x)}$ , где P (x) и Q (x) — многочлены.

Рациональная дробь $\frac{P(x)}{Q(x)}$ называется правильной, если степень многочлена P (x) в ее числителе меньше степени многочлена Q (x) в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Всякая неправильная рациональная дробь $\frac{P(x)}{Q(x)}$ с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду

$\frac{P(x)}{Q(x)}P_0(x)+\frac{P_1(x)}{Q_1(x)},$

где $P_0(x)$ — многочлен (целая часть при делении), а $\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}$ — правильная рациональная дробь (остаток).

Поэтому

$\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx=\int P_0(x)dx+\int\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}dx.$

Так как интеграл $\int P_0(x)dx$ вычисляется элементарно (сводится к сумме табличных), то интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей.

Разложение правильной дроби на простейшие дроби

Правильные дроби следующих четырех типов называются простейшими (или элементарными) дробями:

$I. \qquad \frac{A}{x-a};$

$II. \qquad \frac{A}{{(x-a)}^k},\qquad (k=2,3,4,\cdots);$

$III. \qquad \frac{Ax+B}{x^2+px+q};$

$IV. \qquad \frac{Ax+B}{{(x^2+px+q)}^n}\qquad (n=2,3,4,\cdots).$

При этом предполагается, что A, B, p, q — действительные числа, а квадратный трехчлен $x^2+px+q$ в дробях III и IV типов не имеет действительных корней (т. е. $p^2-4q<0$ ). Каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей указанных четырех типов. А именно: если знаменатель данной правильной дроби $\frac{P(x)}{Q(x)}$ разложен на не повторяющиеся линейные и квадратные множители

$Q(x)={(x-a_1)}^{k_1}\cdot {(x-a_2)}^{k_2} \cdot\ldots\cdot {(x-a_n)}^{k_n}\cdot{(x^2+p_1x+q_1)}^{r_1}\cdot\ldots$

$\ldots\cdot {(x^2+p_mx+q_m)}^{r_m},$

где $k_1,k_2,\ldots ,k_n,r_1,r_2,\ldots ,r_m$ — натуральные числа, то эту дробь можно представить в виде следующей суммы простейших:

$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_1}{{(x-a_1)}^{k_1}}+\frac{A_2}{{(x-a_1)}^{k_1-1}}+\ldots+\frac{A_{k_1}}{(x-a_1)}+\ldots +\frac{B_1x+C_1}{{(x^2+p_1x+q_1)}^{r_1}}+$

$+\frac{B_2x+C_2}{{(x^2+p_1x+q_1)}^{r_1-1}}+\frac{B_{r_1}x+C_{r_1}}{{(x^2+p_1x+q_1)}}+\ldots.$

Коэффициенты $A_1, A_2,\ldots , B_1, C_1, \ldots ,B_{r_1},C_{r_1},\ldots$ в разложении находятся с помощью метода неопределенных коэффициентов или метода частных значений. Общее число этих коэффициентов равно степени многочлена Q (x). Таким образом, интегрируя правильную дробь, мы сначала раскладываем ее на сумму простейших, а затем интегрируем каждое слагаемое в этом разложении. Вычисляя интегралы от простейших дробей, надо иметь в виду, что:

I. Простейшие дроби первых двух типов — почти табличные:

$1. \int\frac{A}{x-a}dx=A\cdot ln\mid x-a \mid +C,$

Замечание: $\int\frac{A}{mx-a}dx=\frac{A}{m}\cdot ln\mid mx-a \mid +C.$

$2. \int\frac{A}{{(x-a)}^k}dx=\frac{A}{1-k}\cdot \frac{1}{{(x-a)}^{k-1}}+C,\qquad k\ne 1,$

Замечание: $\int\frac{A}{{(mx-a)}^k}dx=\frac{A}{m(1-k)}\cdot \frac{1}{{(mx-a)}^{k-1}}+C,\qquad k\ne 1.$

II. При интегрировании простейшей дроби третьего типа необходимо выделить полный квадрат из выражения $x^2+px+q$ и сделать соответствующую подстановку.

$x^2+px+q=x^2+2\cdot \frac{p}{2}\cdot x+{\left(\frac{p}{2}\right)}^2+\left[q-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2\right]=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2+\left(q-\frac{p^2}{4}\right).$

Последнее выражение в скобках, по предположению, есть число положительное, его можно положить равным $a^2$ , если взять

$a=+\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}.$

Теперь прибегнем к подстановке $x +\frac{p}{2}=t$ , тогда

$dx=dt; x^2+px+q=t^2+a^2; Mx+N=Mt+\left(N-\frac{Mp}{2}\right).$

Таким образом будем иметь:

$\int\frac{Mx+N}{x^2+px+q}dx=\int\frac{Mt+\left(N-\frac{Mp}{2}\right)}{t^2+a^2}dt=\frac{M}{2}\int\frac{2tdt}{t^2+a^2}+$

$+\left(N-\frac{Mp}{2}\right)\int\frac{dt}{t^2+a^2}=\frac{M}{2}ln(t^2+a^2)+\frac{1}{a}\left(N-\frac{Mp}{2}\right)arctg\frac{t}{a}+C,$

или, возвращаясь к $x$ и подставляя вместо $a$ его значение:

$\int\frac{Mx+N}{x^2+px+q}dx=\frac{M}{2}ln(x^2+px+q)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C.$

Вывод. При интегрировании дробей третьего типа в общем виде получаем сумму натурального логарифма и арктангенса.

Практический материал

I. Интегрирование простейших дробей первых двух типов:

8.3.2. Вычислим интеграл

$\int\frac{4}{x+3}dx=4 \cdot ln|x+3|+C.$

8.3.19. Вычислим интеграл

$\int\frac{5}{x+\sqrt2}dx=5 \cdot ln|x+\sqrt2|+C.$

8. Вычислите интеграл

$\int\frac{7}{x+\sqrt3}dx$

8.3.4. Вычислим интеграл

$\int\frac{11}{{(x+2)}^3}dx=-\frac{11}{2{(x+2)}^2}+C.$

8.3.21. Вычислите интеграл

$\int\frac{7}{{(x+3)}^6}dx$

8.3.22. Вычислите интеграл

$\int\frac{dx}{{(3x+2)}^4}$

8.3.3. Вычислим интеграл

$\int\frac{dx}{{(x-1)}^5}=-\frac{1}{4{(x-1)}^4}+C.$

8.3.20. Вычислите интеграл

$\int\frac{4}{{(x-0,5)}^3}dx$

II. Интегрирование простейших дробей третьего типа:

Пример.(8.3.6)

$\int\frac{x+6}{x^2-2x+17}dx=$

выделим полный квадрат в знаменателе дроби и сделаем соответствующую подстановку

$=\bigg|^{ x^2-2x+17=x^2-2\cdot 1\cdot x+17=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)-1+17={(x-1)}^2+16;}_{ x-1=t, dx=dt, x=t+1}\bigg|=$

$=\int\frac{x+6}{{(x-1)}^2+16}dx=\int\frac{t+7}{t^2+16}dt$

почленно разделив числитель на знаменатель, получаем

$\int\left(\frac{t}{t^2+16}+\frac{7}{t^2+16}\right)dt,$

используя свойство интегралов (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций), применяя метод подстановки для первого интеграла и формулу 9 таблицы интегралов ко второму, получаем

$\int\frac{t}{t^2+16}dt+\int\frac{7}{t^2+16}dt=\left|m=t^2+16, dm=2tdt, tdt=\frac12 dm\right|=$

$=\frac12 \int\frac{dm}{m}+\int\frac{7}{t^2+4^2}dt=\frac12 ln|m|+\frac74 arctg\frac{t}{4}+C.$

Далее возвращаясь к первоначальной переменной х получаем (в первом выражении сначала к переменной t, а потом к х):

$\frac12 ln|t^2+16|+\frac74 arctg\frac{x-1}{4}+C=\frac12 ln(x^2-2x+17)+\frac74 arctg\frac{x-1}{4}+C.$

Далее рассмотрим интегрирование правильных дробей, которые представляются в виде суммы простейших дробей указанных четырех типов

$1. \int\frac{7x+4}{(x-3)(x+2)}dx$

Подынтегральная дробь — правильная. Разложим ее на сумму простейших дробей первого типа:

$\frac{7x+4}{(x-3)(x+2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}.$

Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А и В, приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю, откуда

$\frac{7x+4}{(x-3)(x+2)}=\frac{A(x+2)+B(x-3)}{(x-3)(x+2)},$

т.е.

$7x+4=A(x+2)+B(x-3).\qquad\qquad (*)$

Из полученного равенства можно найти коэффициенты А и В двумя способами: с помощью метода неопределенных коэффициентов или метода частных значений. Рассмотрим оба способа.

1. Метод неопределенных коэффициентов. Раскрываем скобки в правой части равенства (*) и сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

$7x+4=(A+B)x+(2A-3B).$

Так как многочлены в обоих частях полученного равенство тождественно равны, то у них должны быть равны и коэффициенты при соответствующих степенях переменной х. Сравнивая эти коэффициенты, получаем систему двух уравнений:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{ll} A+B=7,\\ 2A-3B=4. \end{array} \right. \end{displaymath}$

Решая эту систему, найдем А=5; В=2.

2. Метод частных значений. Придадим неизвестной х в равенстве (*) частное значение х=3. Тогда получим

$7\cdot 3+4=A\cdot (3+2),$

т. е. $25=5A,$ откуда получаем А=5. Подставляя теперь в уравнение (*) значение х=-2 (удобнее всего подставлять значения, обращающие одну или несколько скобок в правой части равенства в ноль; эти значения совпадают с действительными корнями знаменателя подынтегральной дроби), получим