Интегрирование иррациональных дробей

Опубликовано: 20.01.2019Рубрика: Неопределенные интегралыАвтор: Ищанов Т.Р.

С помощью метода замены переменной интегрирование иррациональных дробей сводится к интегрированию рациональной дроби.

Пример 8.4.6 $\int\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}}.$

Решение. Сделаем замену $x+1=t^3$ , тогда $dx=3t^2dt$ . Исходный интеграл примет вид:

$3\int\frac{t^2dt}{t+1}$

Выражение, стоящее под знаком интеграла, является неправильной рациональной дробью, поэтому выделим целую часть

$3\int\frac{t^2-1+1}{t+1}dt=3\int\frac{(t-1)(t+1)+1}{t+1}dt.$

Разделим почленно числитель на знаменатель и проинтегрируем полученное выражение

$3\int\left(t-1+\frac{1}{t+1}\right)dt=\frac{3t^2}{2}-3t+3ln|t+1|+C.$

Осталось только выполнить обратную замену $t=\sqrt[3]{x+1}$

$\frac32\sqrt[3]{(x+1)^2}-3\sqrt[3]{x+1}+3ln|\sqrt[3]{x+1}+1|+C$

Пример 8.4.16 $\int\frac{\sqrt x dx}{1+\sqrt{x}}.$

Решение.

$\int\frac{\sqrt x dx}{1+\sqrt{x}}=\bigg|^{x=t^2; t=\sqrt{x}}_{dx=2tdt}\bigg|=\int\frac{\sqrt{t^2} 2tdt}{1+\sqrt{t^2}}=\int\frac{2t^2dt}{1+t}=$

$=2\int\frac{t^2-1+1}{t+1}dt=2\int\frac{(t-1)(t+1)+1}{t+1}dt=$

$=2\int\left(\frac{(t-1)(t+1)}{t+1}+\frac{1}{t+1}\right)dt=2\int\left(t-1+\frac{1}{t+1}\right)dt=$

$=t^2-2t+2ln|t+1|+C=x-2\sqrt{x}+2ln|\sqrt{x}+1|+C.$

0 6 488 просмотров

Добавить комментарий