fbpx

Интегрирование иррациональных дробей

С помощью метода замены переменной интегрирование иррациональных дробей сводится к интегрированию рациональной дроби.

Интегрирование иррациональных дробей

Интегрирование иррациональных дробей

Интегрирование иррациональных дробей

Интегрирование иррациональных дробей

Интегрирование иррациональных дробей

Пример 8.4.6 \int\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}}.

Решение. Сделаем замену x+1=t^3, тогда dx=3t^2dt. Исходный интеграл примет вид:

    \[3\int\frac{t^2dt}{t+1}\]

Выражение, стоящее под знаком интеграла, является неправильной рациональной дробью, поэтому выделим целую часть  

    \[3\int\frac{t^2-1+1}{t+1}dt=3\int\frac{(t-1)(t+1)+1}{t+1}dt.\]

Разделим почленно числитель на знаменатель и проинтегрируем полученное выражение 

    \[3\int\left(t-1+\frac{1}{t+1}\right)dt=\frac{3t^2}{2}-3t+3ln|t+1|+C.\]

Осталось только выполнить обратную замену t=\sqrt[3]{x+1}

    \[\frac32\sqrt[3]{(x+1)^2}-3\sqrt[3]{x+1}+3ln|\sqrt[3]{x+1}+1|+C\]

 Пример 8.4.16 \int\frac{\sqrt x dx}{1+\sqrt{x}}.

 Решение.

    \[\int\frac{\sqrt x dx}{1+\sqrt{x}}=\bigg|^{x=t^2; t=\sqrt{x}}_{dx=2tdt}\bigg|=\int\frac{\sqrt{t^2} 2tdt}{1+\sqrt{t^2}}=\int\frac{2t^2dt}{1+t}=\]

    \[=2\int\frac{t^2-1+1}{t+1}dt=2\int\frac{(t-1)(t+1)+1}{t+1}dt=\]

    \[=2\int\left(\frac{(t-1)(t+1)}{t+1}+\frac{1}{t+1}\right)dt=2\int\left(t-1+\frac{1}{t+1}\right)dt=\]

    \[=t^2-2t+2ln|t+1|+C=x-2\sqrt{x}+2ln|\sqrt{x}+1|+C.\]

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
ischanow.com
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: