С помощью метода замены переменной интегрирование иррациональных дробей сводится к интегрированию рациональной дроби.
Пример 8.4.6 $\int\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}}.$
Решение. Сделаем замену $x+1=t^3$, тогда $dx=3t^2dt$. Исходный интеграл примет вид: $$3\int\frac{t^2dt}{t+1}$$
Выражение, стоящее под знаком интеграла, является неправильной рациональной дробью, поэтому выделим целую часть $$3\int\frac{t^2-1+1}{t+1}dt=3\int\frac{(t-1)(t+1)+1}{t+1}dt.$$
Разделим почленно числитель на знаменатель и проинтегрируем полученное выражение $$3\int\left(t-1+\frac{1}{t+1}\right)dt=\frac{3t^2}{2}-3t+3ln|t+1|+C.$$
Осталось только выполнить обратную замену $t=\sqrt[3]{x+1}$
$$\frac32\sqrt[3]{(x+1)^2}-3\sqrt[3]{x+1}+3ln|\sqrt[3]{x+1}+1|+C$$
Пример 8.4.16 $\int\frac{\sqrt x dx}{1+\sqrt{x}}.$
Решение.
$$
\int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \, dx =
\left|
\begin{aligned}
x &= t^2 \\
t &= \sqrt{x} \\
dx &= 2t \, dt
\end{aligned}
\right|
= \int \frac{t \cdot 2t \, dt}{1+t} = \int \frac{2t^2}{1+t} \, dt =
$$
$$=2\int\frac{t^2-1+1}{t+1}dt=2\int\frac{(t-1)(t+1)+1}{t+1}dt=$$
$$=2\int\left(\frac{(t-1)(t+1)}{t+1}+\frac{1}{t+1}\right)dt=2\int\left(t-1+\frac{1}{t+1}\right)dt=$$
$$=t^2-2t+2ln|t+1|+C=x-2\sqrt{x}+2ln|\sqrt{x}+1|+C.$$
