Непосредственное интегрирование

Найти интегралы, используя таблицу интегралов:

1. (8.1.2)

$\int x^{10} dx$

Решение. Согласно формуле 2 таблицы интегралов получаем:

$\int x^{10} dx=\frac{x^{10+1}}{10+1}=\frac{x^{11}}{11}+C,\qquad$

где $(\alpha=10)$

2. (8.1.3)

$\int \frac {dx}{x^7}$

Решение. В данном случае также имеем интеграл от степенной функции, но для того, чтобы применить формулу 2 таблицы интегралов, необходимо преобразовать подынтегральное выражение:

$\int x^{-7} dx=\frac{x^{-7+1}}{-7+1}=\frac{x^{-6}}{-6}+C=-\frac{1}{6x^6}+C$

3. (8.1.4)

$\int \sqrt[4] {x} dx$

Решение. Представим радикал подынтегрального выражения в виде показателя степени:

$\int x^{\frac14}=\frac{x^{\frac14+1}}{\frac14+1}=\frac45 x^{\frac54}+C$

4. (8.1.1.2)

$\int \frac {dx}{\sqrt{x^3}}$

5. (8.1.1.3)

$\int 2^x dx$

Решение. Применив формулу 4 таблицы интегралов, получаем:

$\int 2^x dx=\frac{2^x}{ln2}+C$

6. (8.1.5)

$\int \frac {dx}{x^2+9}$

Решение. Применяем формулу 9:

$\int \frac {dx}{x^2+9}=\int \frac {dx}{x^2+3^2}=\frac13 arctg \frac{x}{3}+C,$

где $a=3$ .

6.1.

$\int \frac {dx}{x^2+16}$

6.2.

$\int \frac {dx}{x^2+5}$

Решение. В данном интеграле преобразуем подынтегральное выражение, чтобы применить формулу 9:

$\int \frac {dx}{x^2+5}=\int \frac {dx}{x^2+\left(\sqrt{5} \right)^2}=\frac{1}{\sqrt{5}} arctg \frac{x}{\sqrt{5}}+C,$

где $a=\sqrt{5}$ .

6.3.

$\int \frac {dx}{x^2+7}$

7. (8.1.6)

$\int \frac {dx}{x^2-\frac12}$

Решение. В данном интеграле также преобразуем подынтегральное выражение, чтобы применить формулу 11:

$\int \frac {dx}{x^2-\frac12}=\int \frac {dx}{x^2-\left(\sqrt{\frac12} \right)^2}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac12}}ln \left| \frac {x-\sqrt{\frac12}}{x+\sqrt{\frac12}}\right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}ln \left| \frac {x-\sqrt{\frac12}}{x+\sqrt{\frac12}}\right|+C,$

где $a=\sqrt{\frac12}$

8. (8.1.7)

$\int \frac {dx}{\sqrt{x^2+3}}$

Указание: для решения данного интеграла необходимо воспользоваться формулой №12 таблицы интегралов ( $\alpha=3$ )

Найти интегралы, используя таблицу и основные свойства неопределенного интеграла:

9. (8.1.9)

$\int \frac {x^4+x^2-6x}{x^3} dx$

Указание: Необходимо почленно разделить числитель на знаменатель, а затем воспользоваться свойством 4 неопределенных интегралов: неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций.

10. (8.1.10)

$\int \left(\frac {5}{x}-\frac {10}{\sqrt[4]{x^3}}-\frac {3}{x^2+7}\right)dx$

11. (8.1.11)

$\int \sqrt{x}(x^2+1) dx$

12. (8.1.12)

$\int \frac {3+\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{4-x^2}} dx$

13. (8.1.13)

$\int \frac {(x^2+2)^2}{\sqrt{x}} dx$

14. (8.1.14)

$\int \left( 4sinx + 8x^3-\frac{11}{cos^2x}\right) dx$

15. (8.1.40)

$\int \left(0,7x^{-0,1}+0,2(0,5)^x \right) dx$

16. (8.1.43)

$\int \frac {7-\sqrt{x^2+\pi}}{\sqrt{x^2+\pi}} dx$

Найти «почти» табличные интегралы.

17.(8.1.21)

$\int \frac{dx}{3x^2-25}$

18.(8.1.50)

$\int \frac{dx}{25x^2+1}$

19.(8.1.52)

$\int \frac{dx}{\sqrt{4x^2-1}}$

Интегрирование сложных функций.

Для решения данных интегралов воспользуемся формулой интегрирования сложных функций:

$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a} F(ax+b)+C$

20. (8.1.16)

$\int cos2x dx$

Решение.

Как вы заметили в данном интеграле в роли функции $f$ выступает косинус

$\int cos2x dx=\frac{1}{2}sin2x+C$

20a.(8.1.45)

$\int sin7x dx$

Решение.

$\int sin7x dx=-\frac{1}{7}cos7x+C$

21. (8.1.17)

$\int (9x+2)^{17}dx$

Решение.

Применим частный случай формулы интегрирования сложной функции:

$\int {(ax+b)}^ndx=\frac{1}{a}\cdot\frac{{(ax+b)}^{n+1}}{n+1}+C$

В нашем случае получаем:

$\int (9x+2)^{17}dx=\frac{1}{9}\cdot\frac{(9x+2)^{18}}{18}=\frac{(9x+2)^{18}}{162}+C$

21a.(8.1.47)

$\int (1-4x)^{2001}dx$

21б.(8.1.49)

$\int \frac{dx}{(6x+4)^4}$

21в.(8.1.20)

$\int \sqrt{(3x+4)}dx$

22. (8.1.18)

$\int \frac{dx}{8x-1}$

22a.(8.1.48)

$\int \frac{dx}{9x+7}$

23. (8.1.19)

$\int 4^{3-5x} dx$

23a.(8.1.51)

$\int 3^{2-11x} dx$

Для нахождения следующих интегралов необходимо преобразовать подынтегральное выражение.

Рассмотрим здесь несколько случаев:

I. Применение тригонометрических формул:

1.(8.1.22)

$\int sin^2x dx$

2.(8.1.23)

$\int cos^2x dx$

3.(8.1.26)

$\int \frac{5+sin^3x}{sin^2x}$

4.(8.1.53)

$\int sin^23x dx$

5.(8.1.54)

$\int cos^28x dx$

6.(8.1.55)

$\int tg^2x dx$

7.(8.1.57)

$\int (3tgx-2ctgx)^2 dx$

8.(8.1.59)

$\int \frac{cos2x}{sin^2x \cdot cos^2x}dx$

9.(8.1.60)

$\int \frac{sin2x}{cosx}dx$

10.(8.1.65)

$\int \frac{dx}{sin^2xcos^2x}$

11.(8.1.66)

$\int sin3x\cdot cos5x dx$

12.(8.1.73)

$\int sin^4x dx$

13.

$\int \frac{dx}{1+cosx}$

II. Применение формул сокращенного умножения:

1.(8.1.68)

$\int \frac{9-x}{3+\sqrt{x}}dx$

2.(8.1.69)

$\int \frac{1+x}{1+\sqrt[3]{x}}dx$

3.(8.1.74)

$\int \frac{sin^3x+cos^3x}{sin^2x-sinxcosx+cos^2x}dx$

III. Дроби содержащие многочлены:

Конечно, основные приемы интегрирования рациональных дробей мы рассмотрим в отдельном разделе, но элементарные случаи я рассмотрю здесь.

1.(8.1.24)

$\int \frac{x-2}{x+3}dx$

2.(8.1.25)

$\int \frac{x^2}{x^2-9}dx$

3.(8.1.56)

$\int \frac{4x+1}{x-5}dx$

4.(8.1.64)

$\int \frac{x^4}{x^2-1}dx$

5.(8.1.70)

$\int \frac{dx}{x^2(x^2+1)}$

Решение.

Для решения данного интеграла преобразуем числитель данной дроби и почленно разделим числитель на знаменатель, предварительно сгруппировав слагаемые:

$\int \frac{dx}{x^2(x^2+1)}=\int \frac{x^2-x^2+1}{x^2(x^2+1)}dx=\int \frac{(x^2+1)-x^2}{x^2(x^2+1)}dx=$

$=\int \left(\frac{x^2+1}{x^2(x^2+1)}-\frac{x^2}{x^2(x^2+1)}\right)dx=\int\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}\right)dx$

Согласно свойству интегралов: интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:

$\int x^{-2}dx-\int\frac{dx}{x^2+1}$

используя формулы 2 и 9 таблицы интегралов получаем:

$-\frac {1}{x}-arctg(x)+C$

6.(8.1.71)

$\int \frac{dx}{(x-3)(x+2)}.$

Решение.

$\int \frac{dx}{(x-3)(x+2)}=\frac{1}{5}\int\frac{-x+3+2+x}{(x-3)(x+2)}dx=$

$=\frac{1}{5}\int\left(\frac{-(x-3)}{(x-3)(x+2)}+\frac{x+2}{(x-3)(x+2)}dx=\frac{1}{5}\int\left(\frac{-1}{x+2}+\frac{1}{x-3}\right)dx$

далее используя формулу

$\int\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}ln|ax+b|+C$

получаем:

$-\frac{1}{5}ln|x+2|+\frac{1}{5}ln|x-3|+C$

7.(8.1.72)

$\int \frac{dx}{x^2+4x+5}$