fbpx

Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле:

    \[\int UdV=UV-\int VdU\qquad\qquad (1)\]

где U(x),V(x) — непрерывно дифференцируемые функции.

Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы более прост для нахождения, нежели исходный. Отметим, что в некоторых случаях формулу (1) необходимо применять несколько раз.

Метод интегрирования по частям рекомендуется использовать для нахождения интегралов от функций:

x^ksin\alpha x,\qquad x^k cos\alpha x,\qquad x^ke^{\alpha x},\qquad x^k{a}^{\alpha x},\qquad x^nln^kx,\qquad x^kch\alpha x,

a^{\beta x}sin \alpha x, \qquad a^{\beta x}cos \alpha x,\qquad arcsin x,\qquad arctg x

и т. д. где n, k — целые положительные постоянные, \alpha,\beta \in R, а также для отыскания некоторых интегралов от функций, содержащих обратные тригонометрические и логарифмические функции.

Рассмотрим несколько случаев:

Пример I: В интегралах, содержащие данные выражения:

    \[x^ksin\alpha x,\qquad x^k cos\alpha x,\qquad x^ke^{\alpha x},\qquad x^k{a}^{\alpha x}\]

за U берем степенную функцию, а за dV соответственно

    \[cos\alpha x,\qquad sin\alpha x,\qquad e^{\alpha x},\qquad {a}^{\alpha x}\]

1.1.

    \[\int xe^{-2x}dx\]

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим U=x, \qquad dV=e^{-2x}dx, тогда

    \[dU=dx,\qquad V=\int e^{-2x}dx=-\frac12e^{-2x}+C\]

(всегда можно считать, что С=0).

Следовательно по формуле (1) имеем

    \[\int xe^{-2x}dx=x\left(-\frac12e^{-2x}\right)-\int \left(-\frac12e^{-2x}\right) dx=\]

    \[= -\frac12 xe^{-2x}-\frac14 e^{-2x}+C.\]

1.2. (8.2.22) Найти

    \[\int (2x-1)\cdot e^{3x} dx\]

Ответ: \frac{6x-5}{9}\cdot e^{3x}+C.

1.3. (8.2.24) Найти

    \[\int x\cdot 2^x dx.\]

Ответ:\frac{2^x(xln2-1)}{ln^22}+C.

1.4.(8.2.21) Найти

    \[\int x\cdot sinx dx.\]

Решение.

    \[\int x\cdot sinx dx=\bigg|^{U=x;  \quad dU=dx;}_{dV=sinxdx;   V=\int sinx dx=-cosx} \bigg|=\]

    \[=-x\cdot cosx-\int (-cosx)dx=-x\cdot cosx+sinx+C.\]

1.5.(8.2.72)

    \[\int \frac{x\cdot cosx}{sin^3x} dx=\int x\cdot\frac{cosx}{sin^3x} dx.\]

Решение.

Обратите внимание на выражение, стоящее под знаком интеграла — произведение степенной функции и тригонометрического отношения. Действуем согласно выше обозначенному правилу, за U принимаем степенную функцию, а за dV — тригонометрическое выражение:

    \[\int \frac{x\cdot cosx}{sin^3x} dx=\bigg|^{U=x;   dU=dx;   dV=\frac{ cosx}{sin^3x}dx}_{V=\int\frac{d(sinx)}{sin^3x} =-\frac{1}{2sin^2x}}\bigg|=\]

    \[=-\frac{x}{2sin^2x}+\frac12\int \frac{dx}{2sin^2x}=-\frac{x}{2sin^2x}-\frac12ctgx+C.\]

1.6.(8.2.82)

    \[\int \frac{x}{cos^2x} dx=\int  x\cdot\frac{1}{cos^2x} dx.\]

Решение.

В данном случае также видим выражение, стоящее под знаком интеграла — произведение степенной и тригонометрической функций.

    \[\int \frac{x}{cos^2x} dx=\left|U=x,   dU=dx,   dV=\frac{dx}{cos^2x}dx,   V=tgx\right|=\]

    \[=xtgx-\int\frac{sinx}{cosx}dx=xtgx+\int\frac{d(cosx)}{cosx}=xtgx+ln|cosx|+C.\]

Пример II:

2.1.(Р) Найти

    \[\int x\cdot arctgx dx.\]

Решение.

    \[\int x\cdot arctgx dx=\bigg|^{U=arctgx;   dU=\frac{dx}{1+x^2}}_   {dV=xdx;   V=\frac{x^2}{2}}\bigg|=\frac{x^2}{2}arctgx-\]

    \[-\frac12\int\frac{x^2dx}{1+x^2}=\frac{x^2}{2}arctgx-\frac12\int\frac{(x^2+1)-1}{1+x^2}dx=\frac{x^2}{2}arctgx-\]

    \[-\frac12\int dx+\frac12\int\frac{dx}{1+x^2}=\frac{x^2}{2}arctgx-\frac12x+\frac12arctgx+C.\]

2.2.(Р) Найти

    \[\int \frac{arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} dx.\]

Решение.

    \[\int \frac{arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} dx=\bigg|^{U=arcsin\sqrt{x},   \qquad dU=\frac{dx}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}}_{dV=\frac{dx}{\sqrt{1-x}}, \qquad   V=-2\sqrt{1-x}}\bigg|=\]

    \[=-2\sqrt{1-x}(arcsin\sqrt{x})+\int\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}\sqrt{x}}dx=-2\sqrt{1-x}(arcsin\sqrt{x})+\]

    \[+\int\ x^{-\frac12}dx=-2\sqrt{1-x}(arcsin\sqrt{x})+2\sqrt{x}+C.\]

2.3.(8.2.32) Найти

    \[\int \frac{ln(lnx)}{x} dx.\]

Решение.

    \[\int \frac{ln(lnx)}{x} dx=\bigg|^{U=ln(lnx);   dU=\frac{dx}{xlnx}}_{dV=\frac{dx}{x};   V=lnx} \bigg|=(ln(lnx))lnx-\int\frac{lnx}{xlnx}dx=\]

    \[=(ln(lnx))lnx-\int\frac{dx}{x}=(ln(lnx))lnx-lnx+C.\]

2.4. Найти

    \[\int x\cdot ln\frac{1+x}{1-x} dx.\]

2.5. Найти

    \[\int x^2\cdot ln\frac{1-x}{1+x} dx.\]

Пример III. В интегралах вида:

\int arcsin(x)dx,   \int arccos(x)dx,  \int arctg(x),   \int arcctg(x)dx,   \int ln(x)dx

и подобных им за U берут соответствующую функцию, а dV=dx.

3.1. Найти

    \[\int lnx dx.\]

Решение.

    \[\int lnx dx=\left|U=lnx,    dU=\frac{1}{x},    dV=dx,    V=x\right|=\]

    \[=x\cdot lnx-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=xlnx-\int dx=xlnx-x+C.\]

3.2. Найти

    \[\int ln(x+\sqrt{1+x^2}) dx.\]

Пример IV:

(В интегралах данного типа формулу (1) необходимо применять несколько раз).

4.1.(Р) Найти

    \[\int (x^2+2x)\cdot cos2x dx.\]

Решение.

    \[\int (x^2+2x)\cdot cos2x dx=\bigg|^{U=x^2+2x;\qquad dU=(2x+2)dx;}_    {dV=cos2xdx;   V=\int cos2xdx=\frac12sin2x}\bigg|=\]

    \[=\frac12(x^2+2x)sin2x-\int (x+1) sin2xdx=\bigg|^{U=x+1;\qquad dU=dx;}_   {dV=sin2xdx;   V=-\frac12cos2x}\bigg|=\]

    \[=\frac12(x^2+2x)sin2x-\left(-(x+1)\frac12cos2x+\int\frac12cos2xdx\right)=\]

    \[=\frac12(x^2+2x)sin2x+\frac12(x+1)cos2x+\frac14sin2x+C.\]

4.2.(Р) Найти

    \[\int x^2\cdot ln^2x dx.\]

Показать решение

Решение.

    \[\int x^2\cdot ln^2x dx=\bigg|^{U=ln^2x;  dU=2(lnx)\cdot \frac{1}{x}dx}_{dV=x^2dx;  V=\frac{x^3}{3}}\bigg|=\]

    \[=\frac{x^3}{3}ln^2x-\frac23\int x^3(lnx)\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{x^3}{3}ln^2x-\]

    \[-\frac23\int x^2lnxdx=\bigg|^{U=lnx;  dU=\frac{dx}{x}}_  {dV=x^2dx;  V=\frac{x^3}{3}}\bigg|=\]

    \[=\frac{x^3}{3}ln^2x-\frac23\left(\frac{x^3}{3}lnx-\int\frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}dx\right)=\frac{x^3}{3}ln^2x-\]

    \[-\frac29x^3lnx+\frac29\int x^2dx=\frac13x^3ln^2x-\frac29x^3lnx+\frac{2}{27}x^3+C.\]

4.3. Найти

    \[\int x^2\cdot e^{-2x} dx;\]

Решение.

4.4. Найти

    \[\int x^3\cdot e^{-x^2} dx;\]

4.5. Найти

    \[\int x^2\cdot arccos(x) dx.\]

4.6. Найти

    \[\int \sqrt{x}\cdot ln^2(x) dx.\]

4.7. Найти

    \[\int x^n\cdot ln(x) dx\]

4.8. Найти

    \[\int x\cdot sin^2(x) dx\]

4.9. Найти

    \[\int {(arcsinx)}^2 dx\]

4.10. Найти

    \[\int x^n\cdot sin\sqrt{x} dx\]

Пример V. Здесь рассмотрим интегралы вида:

    \[\int e^{ax}cosbxdx,\qquad \int e^{a x}sinbxdx.\]

Если к ним применить интегрирование по частям, в обоих случаях взяв

    \[dV=e^{a x}dx,\qquad V=\frac{1}{a}e^{a x},\]

получим

    \[\int e^{a x}cosbxdx=\frac{1}{a}e^{a x}cosbx+\frac{b}{a}\int e^{a x}sinbxdx,\]

    \[\int e^{a x}sinbxdx=\frac{1}{a}e^{a x}sinbx-\frac{b}{a}\int e^{a x}cosbxdx.\]

Таким образом, каждый из этих интегралов оказался выраженным через другой. Однако если в первую формулу подставить выражение второго интеграла из второй формулы, то придем к уравнению относительно первого интеграла, из которого он и определится:

    \[\int e^{a x}cosbxdx=\frac{bsinbx+acosbx}{a^2+b^2}\cdot e^{a x}+C\]

    \[\int e^{a x}sinbxdx=\frac{asinbx-bcosbx}{a^2+b^2}\cdot e^{a x}+C\]

5.1.(Р) Найти

    \[\int e^{x}\cdot cosx dx.\]

Решение.

    \[\int e^{x}\cdot cosx dx=\bigg|^{U=e^x;  dU=e^xdx}_{  dV=cosxdx;  V=\int cosxdx=sinx} \bigg|=\]

    \[=e^x\cdot sinx-\int (sinx)\cdot e^xdx.\]

К полученному в правой части равенства интегралу (отметим, что он, в сущности, не проще исходного) снова применим правило интегрирования по частям:

    \[\int e^x\cdot sinxdx=\bigg|^{U=e^x;  dU=e^xdx}_{dV=sinxdx;  V=\int sinxdx=-cosx} \bigg|=\]

    \[=-e^x\cdot cosx-\int (-cosx)\cdot e^xdx=-e^x\cdot cosx+\int e^x\cdot cosxdx.\]

Отсюда

    \[\int e^{x}\cdot cosx dx=e^x\cdot sinx-\left(-e^x\cdot cosx+\int e^x\cdot cosxdx\right)=\]

    \[=e^x(sinx+cosx)-\int e^x\cdot cosxdx.\]

В итоге снова получили исходный интеграл, и может показаться, что решение зашло в тупик. Однако, перенеся этот интеграл в левую часть равенства, получим

    \[2\int e^{x}\cdot cosx dx=e^x(sinx+cosx)+C\]

Теперь окончательно

    \[\int e^{x}\cdot cosx dx=\frac{e^x(sinx+cosx)}{2}+C\]

5.2.(Р) Найти

    \[\int e^{2x}\cdot sinx dx.\]

Решение.

    \[\int e^{2x}\cdot sinx dx=\bigg|^{U=sinx;  dU=cosxdx}_  {dV=e^{2x}dx;  V=\frac12e^{2x}} \bigg|=\]

    \[=\frac12e^{2x}sinx-\frac12\int e^{2x}cosxdx=\bigg|^{U=cosx;  dU=-sinxdx;}_{dV=e^{2x}dx;  V=\frac12e^{2x}}\bigg|=\]

    \[=\frac12e^{2x}sinx-\frac12\left(\frac12e^{2x}cosx-\int \frac12e^{2x}sinxdx\right)=\]

    \[=\frac12e^{2x}sinx-\frac14e^{2x}cosx+\frac14\int e^{2x}sinxdx.\]

Перенеся последний интеграл в левую часть равенства, получим

    \[\frac34\int e^{2x}sinxdx=\frac12e^{2x}sinx-\frac14e^{2x}cosx+\frac34C\]

Следовательно,

    \[\int e^{2x}sinxdx=\frac23e^{2x}sinx-\frac13e^{2x}cosx+C.\]

Замечание: Как вы заметили в интегралах данного вида не имеет значения что «брать» за U, а что за dV.

5.3. Найти

    \[\int {(e^x- cosx)}^2 dx.\]

Решение.

Также рассмотрим здесь следующие интегралы:

5.4.(Р) Найти

    \[\int cos(lnx) dx.\]

Решение.

    \[\int cos(lnx) dx=\bigg|^{U=cos(lnx);  dU=-\frac{sin(lnx)dx}{x}}_  {dV=dx;  V=x} \bigg|=\]

    \[=x\cdot cos(lnx)+\int \frac{sin(lnx)dx}{x}=\]

    \[=\bigg|U=sin(lnx);  dU=\frac{cos(lnx)dx}{x}; dV=dx;  V=x\bigg|=\]

    \[=x\cdot cos(lnx)+x\cdot sin(lnx)-\int cos(lnx)dx+C.\]

Перенеся последний интеграл в левую часть равенства, получим

    \[2\int cos(lnx)dx=x\cdot cos(lnx)+x\cdot sin(lnx)+C\]

Следовательно,

    \[\int cos (lnx)dx=\frac12(x \cdot cos(lnx)+x\cdot sin(lnx)+ C).\]

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
ischanow.com
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: