Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле:

$\int UdV=UV-\int VdU\qquad\qquad (1)$

где $U(x),V(x)$ — непрерывно дифференцируемые функции.

Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы более прост для нахождения, нежели исходный. Отметим, что в некоторых случаях формулу (1) необходимо применять несколько раз.

Метод интегрирования по частям рекомендуется использовать для нахождения интегралов от функций:

$x^ksin\alpha x,\qquad x^k cos\alpha x,\qquad x^ke^{\alpha x},\qquad x^k{a}^{\alpha x},\qquad x^nln^kx,\qquad x^kch\alpha x,$

$a^{\beta x}sin \alpha x, \qquad a^{\beta x}cos \alpha x,\qquad arcsin x,\qquad arctg x$

и т. д. где n, k — целые положительные постоянные, $\alpha,\beta \in R$ , а также для отыскания некоторых интегралов от функций, содержащих обратные тригонометрические и логарифмические функции.

Рассмотрим несколько случаев:

Пример I: В интегралах, содержащие данные выражения:

$x^ksin\alpha x,\qquad x^k cos\alpha x,\qquad x^ke^{\alpha x},\qquad x^k{a}^{\alpha x}$

за U берем степенную функцию, а за dV соответственно

$cos\alpha x,\qquad sin\alpha x,\qquad e^{\alpha x},\qquad {a}^{\alpha x}$

1.1.

$\int xe^{-2x}dx$

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим $U=x, \qquad dV=e^{-2x}dx$ , тогда

$dU=dx,\qquad V=\int e^{-2x}dx=-\frac12e^{-2x}+C$

(всегда можно считать, что С=0).

Следовательно по формуле (1) имеем

$\int xe^{-2x}dx=x\left(-\frac12e^{-2x}\right)-\int \left(-\frac12e^{-2x}\right) dx=$

$= -\frac12 xe^{-2x}-\frac14 e^{-2x}+C.$

1.2. (8.2.22) Найти

$\int (2x-1)\cdot e^{3x} dx$

Ответ: $\frac{6x-5}{9}\cdot e^{3x}+C$ .

1.3. (8.2.24) Найти

$\int x\cdot 2^x dx.$

Ответ: $\frac{2^x(xln2-1)}{ln^22}+C$ .

1.4.(8.2.21) Найти

$\int x\cdot sinx dx.$

Решение.

$\int x\cdot sinx dx=\bigg|^{U=x; \quad dU=dx;}_{dV=sinxdx; V=\int sinx dx=-cosx} \bigg|=$

$=-x\cdot cosx-\int (-cosx)dx=-x\cdot cosx+sinx+C.$

1.5.(8.2.72)

$\int \frac{x\cdot cosx}{sin^3x} dx=\int x\cdot\frac{cosx}{sin^3x} dx.$

Решение.

Обратите внимание на выражение, стоящее под знаком интеграла — произведение степенной функции и тригонометрического отношения. Действуем согласно выше обозначенному правилу, за U принимаем степенную функцию, а за dV — тригонометрическое выражение:

$\int \frac{x\cdot cosx}{sin^3x} dx=\bigg|^{U=x; dU=dx; dV=\frac{ cosx}{sin^3x}dx}_{V=\int\frac{d(sinx)}{sin^3x} =-\frac{1}{2sin^2x}}\bigg|=$

$=-\frac{x}{2sin^2x}+\frac12\int \frac{dx}{2sin^2x}=-\frac{x}{2sin^2x}-\frac12ctgx+C.$

1.6.(8.2.82)

$\int \frac{x}{cos^2x} dx=\int x\cdot\frac{1}{cos^2x} dx.$

Решение.

В данном случае также видим выражение, стоящее под знаком интеграла — произведение степенной и тригонометрической функций.

$\int \frac{x}{cos^2x} dx=\left|U=x, dU=dx, dV=\frac{dx}{cos^2x}dx, V=tgx\right|=$

$=xtgx-\int\frac{sinx}{cosx}dx=xtgx+\int\frac{d(cosx)}{cosx}=xtgx+ln|cosx|+C.$

Пример II:

2.1.(Р) Найти

$\int x\cdot arctgx dx.$

Решение.

$\int x\cdot arctgx dx=\bigg|^{U=arctgx; dU=\frac{dx}{1+x^2}}_ {dV=xdx; V=\frac{x^2}{2}}\bigg|=\frac{x^2}{2}arctgx-$

$-\frac12\int\frac{x^2dx}{1+x^2}=\frac{x^2}{2}arctgx-\frac12\int\frac{(x^2+1)-1}{1+x^2}dx=\frac{x^2}{2}arctgx-$

$-\frac12\int dx+\frac12\int\frac{dx}{1+x^2}=\frac{x^2}{2}arctgx-\frac12x+\frac12arctgx+C.$

2.2.(Р) Найти

$\int \frac{arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} dx.$

Решение.

$\int \frac{arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} dx=\bigg|^{U=arcsin\sqrt{x}, \qquad dU=\frac{dx}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}}_{dV=\frac{dx}{\sqrt{1-x}}, \qquad V=-2\sqrt{1-x}}\bigg|=$

$=-2\sqrt{1-x}(arcsin\sqrt{x})+\int\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}\sqrt{x}}dx=-2\sqrt{1-x}(arcsin\sqrt{x})+$

$+\int\ x^{-\frac12}dx=-2\sqrt{1-x}(arcsin\sqrt{x})+2\sqrt{x}+C.$

2.3.(8.2.32) Найти

$\int \frac{ln(lnx)}{x} dx.$

Решение.

$\int \frac{ln(lnx)}{x} dx=\bigg|^{U=ln(lnx); dU=\frac{dx}{xlnx}}_{dV=\frac{dx}{x}; V=lnx} \bigg|=(ln(lnx))lnx-\int\frac{lnx}{xlnx}dx=$

$=(ln(lnx))lnx-\int\frac{dx}{x}=(ln(lnx))lnx-lnx+C.$

2.4. Найти

$\int x\cdot ln\frac{1+x}{1-x} dx.$

2.5. Найти

$\int x^2\cdot ln\frac{1-x}{1+x} dx.$

Пример III. В интегралах вида:

$\int arcsin(x)dx, \int arccos(x)dx, \int arctg(x), \int arcctg(x)dx, \int ln(x)dx$

и подобных им за U берут соответствующую функцию, а dV=dx.

3.1. Найти

$\int lnx dx.$

Решение.

$\int lnx dx=\left|U=lnx, dU=\frac{1}{x}, dV=dx, V=x\right|=$

$=x\cdot lnx-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=xlnx-\int dx=xlnx-x+C.$

3.2. Найти

$\int ln(x+\sqrt{1+x^2}) dx.$

Пример IV:

(В интегралах данного типа формулу (1) необходимо применять несколько раз).

4.1.(Р) Найти

$\int (x^2+2x)\cdot cos2x dx.$

Решение.

$\int (x^2+2x)\cdot cos2x dx=\bigg|^{U=x^2+2x;\qquad dU=(2x+2)dx;}_ {dV=cos2xdx; V=\int cos2xdx=\frac12sin2x}\bigg|=$

$=\frac12(x^2+2x)sin2x-\int (x+1) sin2xdx=\bigg|^{U=x+1;\qquad dU=dx;}_ {dV=sin2xdx; V=-\frac12cos2x}\bigg|=$

$=\frac12(x^2+2x)sin2x-\left(-(x+1)\frac12cos2x+\int\frac12cos2xdx\right)=$

$=\frac12(x^2+2x)sin2x+\frac12(x+1)cos2x+\frac14sin2x+C.$

4.2.(Р) Найти

$\int x^2\cdot ln^2x dx.$

Показать решение

Решение.

$\int x^2\cdot ln^2x dx=\bigg|^{U=ln^2x; dU=2(lnx)\cdot \frac{1}{x}dx}_{dV=x^2dx; V=\frac{x^3}{3}}\bigg|=$

$=\frac{x^3}{3}ln^2x-\frac23\int x^3(lnx)\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{x^3}{3}ln^2x-$

$-\frac23\int x^2lnxdx=\bigg|^{U=lnx; dU=\frac{dx}{x}}_ {dV=x^2dx; V=\frac{x^3}{3}}\bigg|=$

$=\frac{x^3}{3}ln^2x-\frac23\left(\frac{x^3}{3}lnx-\int\frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}dx\right)=\frac{x^3}{3}ln^2x-$

$-\frac29x^3lnx+\frac29\int x^2dx=\frac13x^3ln^2x-\frac29x^3lnx+\frac{2}{27}x^3+C.$

4.3. Найти

$\int x^2\cdot e^{-2x} dx;$

Решение.

4.4. Найти

$\int x^3\cdot e^{-x^2} dx;$

4.5. Найти

$\int x^2\cdot arccos(x) dx.$

4.6. Найти

$\int \sqrt{x}\cdot ln^2(x) dx.$

4.7. Найти

$\int x^n\cdot ln(x) dx$

4.8. Найти

$\int x\cdot sin^2(x) dx$

4.9. Найти

$\int {(arcsinx)}^2 dx$

4.10. Найти

$\int x^n\cdot sin\sqrt{x} dx$

Пример V. Здесь рассмотрим интегралы вида:

$\int e^{ax}cosbxdx,\qquad \int e^{a x}sinbxdx.$

Если к ним применить интегрирование по частям, в обоих случаях взяв

$dV=e^{a x}dx,\qquad V=\frac{1}{a}e^{a x},$

получим

$\int e^{a x}cosbxdx=\frac{1}{a}e^{a x}cosbx+\frac{b}{a}\int e^{a x}sinbxdx,$

$\int e^{a x}sinbxdx=\frac{1}{a}e^{a x}sinbx-\frac{b}{a}\int e^{a x}cosbxdx.$

Таким образом, каждый из этих интегралов оказался выраженным через другой. Однако если в первую формулу подставить выражение второго интеграла из второй формулы, то придем к уравнению относительно первого интеграла, из которого он и определится:

$\int e^{a x}cosbxdx=\frac{bsinbx+acosbx}{a^2+b^2}\cdot e^{a x}+C$

$\int e^{a x}sinbxdx=\frac{asinbx-bcosbx}{a^2+b^2}\cdot e^{a x}+C$

5.1.(Р) Найти

$\int e^{x}\cdot cosx dx.$

Решение.

$\int e^{x}\cdot cosx dx=\bigg|^{U=e^x; dU=e^xdx}_{ dV=cosxdx; V=\int cosxdx=sinx} \bigg|=$

$=e^x\cdot sinx-\int (sinx)\cdot e^xdx.$

К полученному в правой части равенства интегралу (отметим, что он, в сущности, не проще исходного) снова применим правило интегрирования по частям:

$\int e^x\cdot sinxdx=\bigg|^{U=e^x; dU=e^xdx}_{dV=sinxdx; V=\int sinxdx=-cosx} \bigg|=$

$=-e^x\cdot cosx-\int (-cosx)\cdot e^xdx=-e^x\cdot cosx+\int e^x\cdot cosxdx.$

Отсюда

$\int e^{x}\cdot cosx dx=e^x\cdot sinx-\left(-e^x\cdot cosx+\int e^x\cdot cosxdx\right)=$

$=e^x(sinx+cosx)-\int e^x\cdot cosxdx.$

В итоге снова получили исходный интеграл, и может показаться, что решение зашло в тупик. Однако, перенеся этот интеграл в левую часть равенства, получим

$2\int e^{x}\cdot cosx dx=e^x(sinx+cosx)+C$