[latexpage]
Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле:
$$\int UdV=UV-\int VdU\qquad\qquad (1)$$
где $U(x),V(x)$ — непрерывно дифференцируемые функции.
Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы более прост для нахождения, нежели исходный. Отметим, что в некоторых случаях формулу (1) необходимо применять несколько раз.
Метод интегрирования по частям рекомендуется использовать для нахождения интегралов от функций:
$x^ksin\alpha x,\qquad x^k cos\alpha x,\qquad x^ke^{\alpha x},\qquad x^k{a}^{\alpha x},\qquad x^nln^kx,\qquad x^kch\alpha x,$
$a^{\beta x}sin \alpha x, \qquad a^{\beta x}cos \alpha x,\qquad arcsin x,\qquad arctg x$
и т. д. где n, k — целые положительные постоянные, $\alpha,\beta \in R$, а также для отыскания некоторых интегралов от функций, содержащих обратные тригонометрические и логарифмические функции.
Рассмотрим несколько случаев:
Пример I: В интегралах, содержащие данные выражения:
$$x^ksin\alpha x,\qquad x^k cos\alpha x,\qquad x^ke^{\alpha x},\qquad x^k{a}^{\alpha x}$$
за U берем степенную функцию, а за dV соответственно
$$cos\alpha x,\qquad sin\alpha x,\qquad e^{\alpha x},\qquad {a}^{\alpha x}$$
1.1. $$\int xe^{-2x}dx$$
Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим $ U=x, \qquad dV=e^{-2x}dx$, тогда
$$dU=dx,\qquad V=\int e^{-2x}dx=-\frac12e^{-2x}+C$$
(всегда можно считать, что С=0).
Следовательно по формуле (1) имеем
$$\int xe^{-2x}dx=x\left(-\frac12e^{-2x}\right)-\int \left(-\frac12e^{-2x}\right) dx=$$
$$= -\frac12 xe^{-2x}-\frac14 e^{-2x}+C.$$
1.2. (8.2.22) Найти $$\int (2x-1)\cdot e^{3x} dx $$
Ответ: $\frac{6x-5}{9}\cdot e^{3x}+C$.
1.3. (8.2.24) Найти $$\int x\cdot 2^x dx.$$
Ответ:$\frac{2^x(xln2-1)}{ln^22}+C$.
1.4.(8.2.21) Найти $$\int x\cdot sinx dx.$$
Решение.
$$\int x\cdot sinx dx=\bigg|^{U=x; \quad dU=dx;}_{dV=sinxdx; V=\int sinx dx=-cosx} \bigg|=$$
$$=-x\cdot cosx-\int (-cosx)dx=-x\cdot cosx+sinx+C.$$
1.5.(8.2.72) $$\int \frac{x\cdot cosx}{sin^3x} dx=\int x\cdot\frac{cosx}{sin^3x} dx.$$
Решение.
Обратите внимание на выражение, стоящее под знаком интеграла — произведение степенной функции и тригонометрического отношения. Действуем согласно выше обозначенному правилу, за U принимаем степенную функцию, а за dV — тригонометрическое выражение:
$$\int \frac{x\cdot cosx}{sin^3x} dx=\bigg|^{U=x; dU=dx; dV=\frac{ cosx}{sin^3x}dx}_{V=\int\frac{d(sinx)}{sin^3x} =-\frac{1}{2sin^2x}}\bigg|=$$
$$=-\frac{x}{2sin^2x}+\frac12\int \frac{dx}{2sin^2x}=-\frac{x}{2sin^2x}-\frac12ctgx+C.$$
1.6.(8.2.82) $$\int \frac{x}{cos^2x} dx=\int x\cdot\frac{1}{cos^2x} dx.$$
Решение.
В данном случае также видим выражение, стоящее под знаком интеграла — произведение степенной и тригонометрической функций.
$$\int \frac{x}{cos^2x} dx=\left|U=x, dU=dx, dV=\frac{dx}{cos^2x}dx, V=tgx\right|=$$
$$=xtgx-\int\frac{sinx}{cosx}dx=xtgx+\int\frac{d(cosx)}{cosx}=xtgx+ln|cosx|+C.$$
Пример II:
2.1.(Р) Найти $$\int x\cdot arctgx dx.$$
Решение.
$$\int x\cdot arctgx dx=\bigg|^{U=arctgx; dU=\frac{dx}{1+x^2}}_ {dV=xdx; V=\frac{x^2}{2}}\bigg|=\frac{x^2}{2}arctgx-$$
$$-\frac12\int\frac{x^2dx}{1+x^2}=\frac{x^2}{2}arctgx-\frac12\int\frac{(x^2+1)-1}{1+x^2}dx=\frac{x^2}{2}arctgx-$$
$$-\frac12\int dx+\frac12\int\frac{dx}{1+x^2}=\frac{x^2}{2}arctgx-\frac12x+\frac12arctgx+C.$$
2.2.(Р) Найти $$\int \frac{arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} dx.$$
Решение.
$$\int \frac{arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} dx=\bigg|^{U=arcsin\sqrt{x}, \qquad dU=\frac{dx}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}}_{dV=\frac{dx}{\sqrt{1-x}}, \qquad V=-2\sqrt{1-x}}\bigg|=$$
$$=-2\sqrt{1-x}(arcsin\sqrt{x})+\int\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}\sqrt{x}}dx=-2\sqrt{1-x}(arcsin\sqrt{x})+$$
$$+\int\ x^{-\frac12}dx=-2\sqrt{1-x}(arcsin\sqrt{x})+2\sqrt{x}+C.$$
2.3.(8.2.32) Найти $$\int \frac{ln(lnx)}{x} dx.$$
Решение.
$$\int \frac{ln(lnx)}{x} dx=\bigg|^{U=ln(lnx); dU=\frac{dx}{xlnx}}_{dV=\frac{dx}{x}; V=lnx} \bigg|=(ln(lnx))lnx-\int\frac{lnx}{xlnx}dx=$$
$$=(ln(lnx))lnx-\int\frac{dx}{x}=(ln(lnx))lnx-lnx+C.$$
2.4. Найти $$\int x\cdot ln\frac{1+x}{1-x} dx.$$
2.5. Найти $$\int x^2\cdot ln\frac{1-x}{1+x} dx.$$
Пример III. В интегралах вида:
$\int arcsin(x)dx, \int arccos(x)dx, \int arctg(x), \int arcctg(x)dx, \int ln(x)dx$
и подобных им за U берут соответствующую функцию, а dV=dx.
3.1. Найти $$\int lnx dx.$$
Решение.
$$\int lnx dx=\left|U=lnx, dU=\frac{1}{x}, dV=dx, V=x\right|=$$
$$=x\cdot lnx-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=xlnx-\int dx=xlnx-x+C.$$
3.2. Найти $$\int ln(x+\sqrt{1+x^2}) dx.$$
Пример IV:
(В интегралах данного типа формулу (1) необходимо применять несколько раз).
4.1.(Р) Найти $$\int (x^2+2x)\cdot cos2x dx.$$
Решение.
$$\int (x^2+2x)\cdot cos2x dx=\bigg|^{U=x^2+2x;\qquad dU=(2x+2)dx;}_ {dV=cos2xdx; V=\int cos2xdx=\frac12sin2x}\bigg|=$$
$$=\frac12(x^2+2x)sin2x-\int (x+1) sin2xdx=\bigg|^{U=x+1;\qquad dU=dx;}_ {dV=sin2xdx; V=-\frac12cos2x}\bigg|=$$
$$=\frac12(x^2+2x)sin2x-\left(-(x+1)\frac12cos2x+\int\frac12cos2xdx\right)=$$
$$=\frac12(x^2+2x)sin2x+\frac12(x+1)cos2x+\frac14sin2x+C.$$
4.2.(Р) Найти $$\int x^2\cdot ln^2x dx.$$
Решение.
$$\int x^2\cdot ln^2x dx=\bigg|^{U=ln^2x; dU=2(lnx)\cdot \frac{1}{x}dx}_{dV=x^2dx; V=\frac{x^3}{3}}\bigg|=$$
$$=\frac{x^3}{3}ln^2x-\frac23\int x^3(lnx)\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{x^3}{3}ln^2x-$$
$$-\frac23\int x^2lnxdx=\bigg|^{U=lnx; dU=\frac{dx}{x}}_ {dV=x^2dx; V=\frac{x^3}{3}}\bigg|=$$
$$=\frac{x^3}{3}ln^2x-\frac23\left(\frac{x^3}{3}lnx-\int\frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}dx\right)=\frac{x^3}{3}ln^2x-$$
$$-\frac29x^3lnx+\frac29\int x^2dx=\frac13x^3ln^2x-\frac29x^3lnx+\frac{2}{27}x^3+C.$$
4.3. Найти $$\int x^2\cdot e^{-2x} dx;$$
Решение.
4.4. Найти $$\int x^3\cdot e^{-x^2} dx;$$
4.5. Найти $$\int x^2\cdot arccos(x) dx.$$
4.6. Найти $$\int \sqrt{x}\cdot ln^2(x) dx.$$
4.7. Найти $$\int x^n\cdot ln(x) dx$$
4.8. Найти $$\int x\cdot sin^2(x) dx$$
4.9. Найти $$\int {(arcsinx)}^2 dx$$
4.10. Найти $$\int x^n\cdot sin\sqrt{x} dx$$
Пример V. Здесь рассмотрим интегралы вида: $$\int e^{ax}cosbxdx,\qquad \int e^{a x}sinbxdx.$$
Если к ним применить интегрирование по частям, в обоих случаях взяв
$$dV=e^{a x}dx,\qquad V=\frac{1}{a}e^{a x},$$
получим
$$\int e^{a x}cosbxdx=\frac{1}{a}e^{a x}cosbx+\frac{b}{a}\int e^{a x}sinbxdx,$$
$$\int e^{a x}sinbxdx=\frac{1}{a}e^{a x}sinbx-\frac{b}{a}\int e^{a x}cosbxdx.$$
Таким образом, каждый из этих интегралов оказался выраженным через другой. Однако если в первую формулу подставить выражение второго интеграла из второй формулы, то придем к уравнению относительно первого интеграла, из которого он и определится:
$$\int e^{a x}cosbxdx=\frac{bsinbx+acosbx}{a^2+b^2}\cdot e^{a x}+C$$ $$\int e^{a x}sinbxdx=\frac{asinbx-bcosbx}{a^2+b^2}\cdot e^{a x}+C$$
5.1.(Р) Найти $$\int e^{x}\cdot cosx dx.$$
Решение.
$$\int e^{x}\cdot cosx dx=\bigg|^{U=e^x; dU=e^xdx}_{ dV=cosxdx; V=\int cosxdx=sinx} \bigg|=$$
$$=e^x\cdot sinx-\int (sinx)\cdot e^xdx.$$
К полученному в правой части равенства интегралу (отметим, что он, в сущности, не проще исходного) снова применим правило интегрирования по частям:
$$\int e^x\cdot sinxdx=\bigg|^{U=e^x; dU=e^xdx}_{dV=sinxdx; V=\int sinxdx=-cosx} \bigg|=$$
$$=-e^x\cdot cosx-\int (-cosx)\cdot e^xdx=-e^x\cdot cosx+\int e^x\cdot cosxdx.$$
Отсюда
$$\int e^{x}\cdot cosx dx=e^x\cdot sinx-\left(-e^x\cdot cosx+\int e^x\cdot cosxdx\right)=$$
$$=e^x(sinx+cosx)-\int e^x\cdot cosxdx.$$
В итоге снова получили исходный интеграл, и может показаться, что решение зашло в тупик. Однако, перенеся этот интеграл в левую часть равенства, получим
$$2\int e^{x}\cdot cosx dx=e^x(sinx+cosx)+C$$
Теперь окончательно
$$\int e^{x}\cdot cosx dx=\frac{e^x(sinx+cosx)}{2}+C$$
5.2.(Р) Найти $$\int e^{2x}\cdot sinx dx.$$
Решение.
$$\int e^{2x}\cdot sinx dx=\bigg|^{U=sinx; dU=cosxdx}_ {dV=e^{2x}dx; V=\frac12e^{2x}} \bigg|=$$
$$=\frac12e^{2x}sinx-\frac12\int e^{2x}cosxdx=\bigg|^{U=cosx; dU=-sinxdx;}_{dV=e^{2x}dx; V=\frac12e^{2x}}\bigg|=$$
$$=\frac12e^{2x}sinx-\frac12\left(\frac12e^{2x}cosx-\int \frac12e^{2x}sinxdx\right)=$$
$$=\frac12e^{2x}sinx-\frac14e^{2x}cosx+\frac14\int e^{2x}sinxdx.$$
Перенеся последний интеграл в левую часть равенства, получим
$$\frac34\int e^{2x}sinxdx=\frac12e^{2x}sinx-\frac14e^{2x}cosx+\frac34C$$
Следовательно,
$$\int e^{2x}sinxdx=\frac23e^{2x}sinx-\frac13e^{2x}cosx+C.$$
Замечание: Как вы заметили в интегралах данного вида не имеет значения что «брать» за U, а что за dV.
5.3. Найти $$\int e^{2x}\cdot sin^2x dx.$$
5.4. Найти $$\int {(e^x- cosx)}^2 dx.$$
Решение.
Также рассмотрим здесь следующие интегралы:
5.5. (Р) Найти $$\int cos(lnx) dx.$$
Решение.
$$\int cos(lnx) dx=\bigg|^{U=cos(lnx); dU=-\frac{sin(lnx)dx}{x}}_ {dV=dx; V=x} \bigg|=$$
$$=x\cdot cos(lnx)+\int \frac{sin(lnx)dx}{x}=$$
$$=\bigg|U=sin(lnx); dU=\frac{cos(lnx)dx}{x}; dV=dx; V=x\bigg|=$$
$$=x\cdot cos(lnx)+x\cdot sin(lnx)-\int cos(lnx)dx+C.$$
Перенеся последний интеграл в левую часть равенства, получим
$$2\int cos(lnx)dx=x\cdot cos(lnx)+x\cdot sin(lnx)+C$$
Следовательно,
$$\int cos (lnx)dx=\frac12(x \cdot cos(lnx)+x\cdot sin(lnx)+ C).$$
