Метод подстановки (замена переменной)

Метод подстановки (замены переменной интегрирования) в неопределенном интеграле.

Пусть требуется вычислить интеграл $\int f(\varphi (x))\cdot \varphi '(x)dx,$ при этом функции φ'(x) и f (x) непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки t=φ(x), используя равенство

$\int f(\varphi (x))\cdot \varphi '(x)dx=\int f(t)dt.$

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Иногда удобнее делать подстановку не t=φ(x), а x=Ψ(t), где Ψ(t) — функция, имеющая непрерывную производную (т.е. непрерывно дифференцируема). Применяя такую подстановку к интегралу $\int f(x)dx,$ получим еще одну формулу замены переменной

$\int f(x)dx=\int f(\psi (t))\psi '(t)dt.$

Получающиеся после применения той или иной подстановки интегралы должны быть более удобны для интегрирования, чем исходные. Не существует общего «рецепта», следуя которому можно всегда понять, какую именно подстановку надо применить к данному интегралу.

Однако следует иметь в виду следующие полезные подсказки:

I. Если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции φ(x), т.е. выражение φ'(x) dx, то имеет смысл попробовать подстановку $t=\varphi (x)$ .

Рассмотрим здесь несколько случаев:

1. Интегралы вида

$\int \frac{x^{k-1}}{\sqrt[n]{ax^k+b}}dx,$

$\int \frac{x^{k-1}}{{(ax^k+b)}^n}dx,$

$\int x^{k-1}{(ax^k+b)}^n dx,$

$\int x^{k-1}\sqrt[n]{ax^k+b}dx$

решаются заменой:

$t=ax^k+b$

Примеры:

1.(8.2.37)

$\int\frac{x^5dx}{\sqrt{x^6+7}}$

Указание: $t=x^6+7$

Ответ: $\frac13\sqrt{x^6+7}+C$

2.(8.2.39)

$\int\frac{2x+3}{{(x^2+3x-1)}^4}dx$

Указание: $t=x^2+3x-1$

Ответ: $-\frac{1}{3{(x^2+3x-1)}^3}+C$

$\int x^2{(3x^3+2)}^5dx$

$\int x\sqrt[3]{x^2+4}dx$

$\int\frac{xdx}{x^4+3}}$

2. Интегралы вида

$\int f(lnx)\frac{dx}{x}=\int f(lnx) d(lnx)$

берутся подстановкой $t=lnx.$

Примеры:

$a) \int\frac{lnx}{x}dx$

Ответ: $\frac12 ln^2x+C$

$b) \int\frac{dx}{xlnx}$

Ответ: $ln(lnx)+C$

$c) \int\frac{dx}{xln^2x}$

Ответ: $-\frac{1}{lnx}+C$

$d) \int\left(lnx+\frac{1}{lnx}\right)\frac{dx}{x}$

Решение.

$\int\left(lnx+\frac{1}{lnx}\right)\frac{dx}{x}=\left|t=lnx\\dx=\frac{dx}{x}\right|=\int\left(t+\frac{1}{t}\right)dt=\frac{t^2}{2}+ln|t|+C,$

сделав обратную замену, получаем

$\frac{ln^2x}{2}+ln|lnx|+C$

3. Интегралы вида

$\int f(sinx)\cdot cosx dx; \int f(cosx) \cdot sinx dx; \int f(tgx)\cdot\frac{dx}{cos^2x}; \int f(ctgx)\cdot\frac{dx}{sin^2x},$

берутся соответственно подстановками

$t=sinx,\qquad t=cosx,\qquad t=tgx, \quad t=ctgx.$