fbpx

Метод подстановки (замена переменной)

Метод подстановки (замены переменной интегрирования) в неопределенном интеграле.

Пусть требуется вычислить интеграл \int f(\varphi (x))\cdot \varphi '(x)dx, при этом функции φ'(x) и f (x) непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки t=φ(x), используя равенство

    \[\int f(\varphi (x))\cdot \varphi '(x)dx=\int f(t)dt.\]

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Иногда удобнее делать подстановку не t=φ(x), а x=Ψ(t), где Ψ(t) — функция, имеющая непрерывную производную (т.е. непрерывно дифференцируема). Применяя такую подстановку к интегралу \int f(x)dx, получим еще одну формулу замены переменной

    \[\int f(x)dx=\int f(\psi (t))\psi '(t)dt.\]

Получающиеся после применения той или иной подстановки интегралы должны быть более удобны для интегрирования, чем исходные. Не существует общего «рецепта», следуя которому можно всегда понять, какую именно подстановку надо применить к данному интегралу.

Однако следует иметь в виду следующие полезные подсказки:

I. Если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции φ(x), т.е. выражение φ'(x) dx, то имеет смысл попробовать подстановку t=\varphi (x).

Рассмотрим здесь несколько случаев:

1. Интегралы вида

    \[\int \frac{x^{k-1}}{\sqrt[n]{ax^k+b}}dx,\]

    \[\int \frac{x^{k-1}}{{(ax^k+b)}^n}dx,\]

    \[\int x^{k-1}{(ax^k+b)}^n dx,\]

    \[\int x^{k-1}\sqrt[n]{ax^k+b}dx\]

решаются заменой:

    \[t=ax^k+b\]

Примеры:

1.(8.2.37) 

    \[\int\frac{x^5dx}{\sqrt{x^6+7}}\]

Указание: t=x^6+7

Ответ: \frac13\sqrt{x^6+7}+C

2.(8.2.39) 

    \[\int\frac{2x+3}{{(x^2+3x-1)}^4}dx\]

Указание: t=x^2+3x-1

Ответ:  -\frac{1}{3{(x^2+3x-1)}^3}+C

3. 

    \[\int x^2{(3x^3+2)}^5dx\]

4.  

    \[\int x\sqrt[3]{x^2+4}dx\]

5. 

    \[\int\frac{xdx}{x^4+3}}\]

2. Интегралы вида

    \[\int f(lnx)\frac{dx}{x}=\int f(lnx) d(lnx)\]

берутся подстановкой t=lnx.

Примеры:

    \[a) \int\frac{lnx}{x}dx\]

Ответ: \frac12 ln^2x+C

    \[b)  \int\frac{dx}{xlnx}\]

Ответ: ln(lnx)+C

    \[c)  \int\frac{dx}{xln^2x}\]

Ответ: -\frac{1}{lnx}+C

    \[d)  \int\left(lnx+\frac{1}{lnx}\right)\frac{dx}{x}\]

Решение.

    \[\int\left(lnx+\frac{1}{lnx}\right)\frac{dx}{x}=\left|t=lnx\\dx=\frac{dx}{x}\right|=\int\left(t+\frac{1}{t}\right)dt=\frac{t^2}{2}+ln|t|+C,\]

сделав обратную замену, получаем

    \[\frac{ln^2x}{2}+ln|lnx|+C\]

3. Интегралы вида

    \[\int f(sinx)\cdot cosx dx;  \int f(cosx) \cdot sinx dx;  \int f(tgx)\cdot\frac{dx}{cos^2x};  \int f(ctgx)\cdot\frac{dx}{sin^2x},\]

берутся соответственно подстановками

    \[t=sinx,\qquad t=cosx,\qquad t=tgx, \quad t=ctgx.\]

Примеры:

    \[1. \int\frac{cosx}{1+sin^2x}dx=\int \frac{dt}{1+t^2}=arctg(t)+C=arctg(sinx)+C\]

    \[2.  \int tgxdx=\int\frac{sinx}{cosx}dx=-\int\frac{dt}{t}=-ln\mid t\mid +C=-ln\mid cosx\mid +C\]

    \[3.(8.2.4).   \int sin^3x\cdot cos(x)dx=\bigg|^{t=sin(x)}_{dt=cos(x)dx}\bigg|=\int t^3 dt=\frac{t^4}{4}+C=\frac{sin^4x}{4}+C.\]

Также рассмотрим здесь следующие интегралы:

    \[4.(8.2.9). \int\frac{arctgxdx}{x^2+1}=\left| t=arctgx; dt=\frac{dx}{x^2+1}\right|=\int t dt=\frac{t^2}{2}+C,\]

вернувшись к прежней переменной х, окончательно получаем:

    \[\int\frac{arctgxdx}{x^2+1}=\frac{arctg^2x}{2}+C.\]

    \[5.(8.2.38). \int\frac{dx}{arccosx\cdot\sqrt{1-x^2}}.\]

Ответ: -ln(arccosx)+C.

    \[6.(1197Д).  \int\frac{{(arcsinx)}^2}{\sqrt{1-x^2}}dx.\]

Указание: t=arcsinx.

Ответ: \frac{arcsin^3x}{3}+C.

Разное.

    \[7.  \int\frac{e^x}{e^{2x}-1}=\left| e^x=t;  e^xdx=dt\right|=\int \frac{dt}{t^2-1}=\frac12ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C,\]

вернувшись к прежней переменной х, окончательно получаем:

    \[\frac12ln\left|\frac{e^x-1}{e^x+1}\right|+C.\]

    \[8. \int\frac{dx}{1+2e^x}=\left| e^x=t;  e^xdx=dt;  dx=\frac{dt}{e^x}\right|=\int \frac{dt}{e^x(1+2t)}=\int\frac{dt}{t(1+2t)}=\]

    \[=\int\frac{1+2t-2t}{t(1+2t)}dt=\int\left(\frac{1+2t}{t(1+2t)}-\frac{2t}{t(1+2t)}dt\right)dt=\int\left(\frac{1}{t}-\frac{2}{1+2t}\right)dt=\]

    \[=ln|t|-ln|1+2t|+C=ln(e^x)-ln|1+2e^x|+C=x-ln|1+2e^x|+C.\]

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
ischanow.com
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: