Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы от тригонометрических функций во многих ситуациях удается рационализировать либо существенно упростить. Рассмотрим шесть наиболее типичных случаев.

I. Универсальная тригонометрическая подстановка

Пример 1.1 (8.5.21) $\int\frac{dx}{5+4sinx}.$

Для решения данного интеграла воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой $t=tg\frac x2; \quad sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}; \quad dx=\frac{2dt}{1+t^2}$ . После подстановки получим следующий интеграл

$\int\frac{2dt}{(1+t^2)\left(5+4\cdot\frac{2t}{1+t^2}\right)}=\int\frac{2dt}{5t^2+8t+5}.$

Под знаком интеграла получено выражение, которое представляет собой простейшую рациональную дробь третьего типа, поэтому для решения последнего интеграла нам необходимо выделить полный квадрат в знаменателе: $5t^2+8t+5=5(t^2+\frac{8}{5}t+1)=5\left(t^2+2\cdot \frac45\cdot t+\frac{16}{25}-\frac{16}{25}+1 \right)=5\left({(t+\frac45})^2+\frac{9}{25}\right)$ . После преобразований получаем:

$\frac25 \int\frac{dt}{{(t+\frac45)}^2+\frac{9}{25}}=\frac25 \int\frac{d(t+\frac45)}{{(t+\frac45)}^2+\frac{9}{25}}=$

$=\frac25 \cdot \frac53 arctg \frac{5(t+\frac45)}{3}+C=\frac23 arctg \frac{5tg\frac x2+4}{3}+C.$

II. Подстановка

Пример 2.1 (8.5.8) $\int sin^3xdx.$

$\int sin^3x}=\int (sin^2x)sinxdx=\int (1-cos^2x)sinxdx.$

Сделаем замену $t=cosx$ , продифференцировав левую часть равенства по $t$ , а правую по $x$ , получим $dt=-sinxdx$ или $sinxdx=-dt$ . Тогда интеграл примет вид

$-\int(1-t^2)dt=-t+\frac{t^3}{3}+C.$

Вернувшись к переменной $x$ , окончательно получим

$\int sin^3xdx=-cos(x)+\frac{cos^3x}{3}+C.$

III. Понижение степени

Пример 3.1 (8.5.11) $\int cos^4xdx.$

Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком интеграла, а потом применим формулу понижения степени

$\int {\left(\frac{1+cos2x}{2} \right)}^2dx=\frac{1}{4}\int\left(1+2cos2x+cos^22x\right)dx$

Интегралы от первого и второго слагаемых в скобках найти не составит труда, а для третьего — снова применим формулу понижения степени $cos^2(2x)=0,5(1+cos4x)$ :

$\frac{1}{4}\int\left(1+2cos2x+\frac12+\frac12 cos4x\right)dx=\frac{1}{4}\left(\frac{3x}{2}+sin2x+$

$+\frac18 sin4x)+C=\frac{3x}{8}+\frac14 sin2x+\frac{1}{32} sin4x+C.$