fbpx

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы от тригонометрических функций во многих ситуациях удается рационализировать либо существенно упростить. Рассмотрим шесть наиболее типичных случаев.

Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование тригонометрических функций

I. Универсальная тригонометрическая подстановка

Пример 1.1 (8.5.21) \int\frac{dx}{5+4sinx}.

Для решения данного интеграла воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой t=tg\frac x2; \quad sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}; \quad dx=\frac{2dt}{1+t^2}. После подстановки получим следующий интеграл 

    \[\int\frac{2dt}{(1+t^2)\left(5+4\cdot\frac{2t}{1+t^2}\right)}=\int\frac{2dt}{5t^2+8t+5}.\]

Под знаком интеграла получено выражение, которое представляет собой простейшую рациональную дробь третьего типа, поэтому для решения последнего интеграла нам необходимо выделить полный квадрат в знаменателе: 5t^2+8t+5=5(t^2+\frac{8}{5}t+1)=5\left(t^2+2\cdot \frac45\cdot t+\frac{16}{25}-\frac{16}{25}+1 \right)=5\left({(t+\frac45})^2+\frac{9}{25}\right). После преобразований получаем:

    \[\frac25 \int\frac{dt}{{(t+\frac45)}^2+\frac{9}{25}}=\frac25 \int\frac{d(t+\frac45)}{{(t+\frac45)}^2+\frac{9}{25}}=\]

    \[=\frac25 \cdot \frac53 arctg \frac{5(t+\frac45)}{3}+C=\frac23 arctg \frac{5tg\frac x2+4}{3}+C.\]

 

II. Подстановка

Пример 2.1 (8.5.8) \int sin^3xdx.

    \[\int sin^3x}=\int (sin^2x)sinxdx=\int (1-cos^2x)sinxdx.\]

Сделаем замену t=cosx, продифференцировав левую часть равенства по t, а правую по x, получим dt=-sinxdx или sinxdx=-dt. Тогда интеграл примет вид

    \[-\int(1-t^2)dt=-t+\frac{t^3}{3}+C.\]

Вернувшись к переменной x, окончательно получим  

    \[\int sin^3xdx=-cos(x)+\frac{cos^3x}{3}+C.\]

 III. Понижение степени

Пример 3.1 (8.5.11) \int cos^4xdx.

Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком интеграла, а потом применим формулу понижения степени

    \[\int {\left(\frac{1+cos2x}{2} \right)}^2dx=\frac{1}{4}\int\left(1+2cos2x+cos^22x\right)dx\]

Интегралы от первого и второго слагаемых в скобках найти не составит труда, а для третьего — снова применим формулу понижения степени cos^2(2x)=0,5(1+cos4x):

    \[\frac{1}{4}\int\left(1+2cos2x+\frac12+\frac12 cos4x\right)dx=\frac{1}{4}\left(\frac{3x}{2}+sin2x+\]

    \[+\frac18 sin4x)+C=\frac{3x}{8}+\frac14 sin2x+\frac{1}{32} sin4x+C.\]

 

 

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
ischanow.com
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: