Важнейшие свойства интегрирования. Первообразная функция

Важнейшие свойства интегрирования. Первообразная функция.

Пусть функция f (x) определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале (a,b). Тогда функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a,b), если F'(x)=f (x) для всех $x\in(a,b).$ (В дальнейшем указание интервала (a,b) будем опускать).

Если F (x) — первообразная функция для функции f (x), то функция F (x)+C, где C некоторая постоянная, также первообразная для функции f (x). Кроме того, если F (x) и G (x) — две первообразные для функции f (x), то они отличаются на некоторую постоянную, т. е. существует такое число $C\in R$ , что F (x) -G (x)=C.

Таким образом, зная только одну первообразную F (x) для функции f (x), мы без труда находим и множество всех первообразных для этой функции, которое совпадает с множеством функций вида F (x)+C. Если функция f (x) непрерывна на данном интервале, то у нее существует первообразная на этом интервале.

Неопределенный интеграл. Совокупность всех первообразных для функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x). Обозначения: $\int f(x) dx$ (читается так: «интеграл эф от икс дэ икс»).

Таким образом, если F (x) — какая-нибудь первообразная для функции f (x), то $\int f(x) dx=F(x) + C$ (в правой части последнего равенства более правильно было бы написать {F (x) + C}, поскольку речь идет о множестве всех первообразных, но фигурные скобки, обозначающие множество, обычно не пишут).

Знак $\int$ называется интегралом, функция f (x) — подынтегральной функцией, а f (x) dx — подынтегральным выражением. Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.

Интегрирование — операция, обратная операции дифференцирования (т. е. операции, заключающейся в нахождении производной от данной функции). У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.

Основные свойства неопределенного интеграла. Везде далее предполагается, что все рассматриваемые неопределенные интегралы существуют.

$1. \int f(x) dx=F(x) + C$