[latexpage]
Важнейшие свойства интегрирования. Первообразная функция.
Пусть функция f(x) определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале (a,b). Тогда функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если F'(x)=f(x) для всех $ x\in(a,b).$ (В дальнейшем указание интервала (a,b) будем опускать).
Если F(x) — первообразная функция для функции f(x), то функция F(x)+C, где C некоторая постоянная, также первообразная для функции f(x). Кроме того, если F(x) и G(x) — две первообразные для функции f(x), то они отличаются на некоторую постоянную, т. е. существует такое число $ C\in R $, что F(x)-G(x)=C.
Таким образом, зная только одну первообразную F(x) для функции f(x), мы без труда находим и множество всех первообразных для этой функции, которое совпадает с множеством функций вида F(x)+C. Если функция f(x) непрерывна на данном интервале, то у нее существует первообразная на этом интервале.
Неопределенный интеграл. Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x). Обозначения: $\int f(x) dx$ (читается так: «интеграл эф от икс дэ икс»).
Таким образом, если F(x) — какая-нибудь первообразная для функции f(x), то $\int f(x) dx=F(x) + C$ (в правой части последнего равенства более правильно было бы написать {F(x) + C}, поскольку речь идет о множестве всех первообразных, но фигурные скобки, обозначающие множество, обычно не пишут).
Знак $\int$ называется интегралом, функция f(x) — подынтегральной функцией, а f(x)dx — подынтегральным выражением. Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.
Интегрирование — операция, обратная операции дифференцирования (т. е. операции, заключающейся в нахождении производной от данной функции). У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.
Основные свойства неопределенного интеграла. Везде далее предполагается, что все рассматриваемые неопределенные интегралы существуют.
$$1. \int f(x) dx=F(x) + C$$
$$2. d \int f(x) dx=f(x) dx$$
$$3. \int \alpha f(x) dx=\alpha \int f(x) dx,$$
где $ \alpha \ne 0 $, т. е. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
$$.4. \int [f(x)\pm g(x)] dx=\int f(x) dx \pm \int g(x) dx,$$
т. е. неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций.
5. Если $$\int f(x) dx=F(x) + C,$$
то $$\int f(ax+b) dx=\frac {1}{a} F(ax+b) + C,$$
где $ a \ne 0$
