1. В бригаде 25 человек. Сколькими способами можно избрать троих рабочих в три комиссии (по одному в каждую)?
Решение.
1 способ. Одна комбинация отличается от другой либо хотя бы одним человеком, либо порядком избрания в комиссии. Поэтому число способов избрания троих рабочих равно числу размещений из 25 человек по 3, т.е.
2 способ. 1 человека можем выбрать 25 способами, 2-го — 24 способами, 3-го 23 способами, согласно правилу умножения получаем:
2. В шахматном турнире участвуют 10 гроссмейстеров, 6 международных мастеров и 4 мастера. Шахматисты для первого тура и номер столика для каждой пары участников определяются путем жеребьевки. Найти вероятность того, что за первым столиком встретятся шахматисты одной и той же категории.
Решение.
Число всех равновозможных случаев определения двух соперников из 20 участников равно числу сочетаний из 20 элементов по 2, т.е. . Число групп по 2 человека, которые могут быть составлены из 10 гроссмейстеров, равно . Число групп, которые могут быть составлены из 6 международных мастеров, равно . Из 4 мастеров может быть составлено пар. Сумма равна числу благоприятствующих случаев для встречи за первым столиком шахматистов одной и той же категории.
Следовательно, искомая вероятность:
3. В ремонтную мастерскую поступило 15 тракторов. Известно, что 6 из них нуждается в замене двигателя, а остальные — в замене отдельных узлов. Случайным образом отбирается два трактора. Найти вероятность того, что замена двигателя необходима:
а) в двух тракторах;
б) в одном тракторе;
в) хотя бы в одном тракторе.
Решение.
а) Обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранный трактор требует замены двигателя. Согласно условиям задачи, вероятность того, что первым будет отобран трактор, требующий замены двигателя, .
Вероятность того, что второй выбранный трактор также потребует замены двигателя, . Тогда вероятность события, состоящего в том, что первый и второй отобранные тракторы потребуют замены двигателя, . (Перемножили две вероятности по правилу умножения, которому соответствует союз «и»).
б) Обозначим через В событие, состоящее в том, что только один из двух выбранных тракторов требует замены двигателя.
Это событие заключается в том, что первый трактор нуждается в замене двигателя, а второй — лишь в замене отдельных узлов, либо первый трактор требует замены отдельных узлов, а второй — замены двигателя: .
в) Обозначим через С событие, состоящее в том, что ни один трактор не потребует замены двигателя. Вероятность того, что первый трактор не потребует замены двигателя, равна 9/15=3/5. Вероятность того, что второй трактор также не потребует замены двигателя, 8/14=4/7. Тогда вероятность того, что оба трактора не потребуют замены двигателя, . Вероятность того, что хотя бы для одного трактора потребуется замена двигателя, .
4. При обследовании двух одинаковых групп мужчин и женщин было установлено, что среди мужчин 5 % дальтоников, а женщин — 0,25 %. Найти вероятность того, что наугад выбранное лицо:
а) страдает дальтонизмом;
б) является мужчиной, если известно, что оно страдает дальтонизмом.
Решение.
а) Пусть событие А состоит в том, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. При этом возможны следующие гипотезы:-выбранное лицо является мужчиной; — выбранное лицо является женщиной.
Из условий задачи находим:
, согласно классическому определению вероятности. (так как имеем две одинаковые группы, то n=2 -общее число исходов, а выбор мужчины или женщины осуществляется только из одной группы, т.е. m=1 — благоприятствующий исход).
Вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом, при условии, что оно является мужчиной равно 5%=0,05, т.е. .
Аналогично определяем вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом, при условии, что оно является женщиной равно 0,25%=0,0025, т.е. .
По формуле полной вероятности вычисляем вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом:
б) Условная вероятность произошедшего события А при осуществлении данной гипотезы :
5. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Найти вероятность того, что из случайно зафиксированных в этом месяце 8 дней дождливыми окажутся:
а) три дня;
б) не менее трех дней;
в) не более трех дней.
Решение.
Наблюдения в условиях данной задачи являются независимыми. Вероятность выпадения дождя в любой день сентября p=12/30=0,4, а вероятность того, что в любой день сентября дождя не будет, q=1-p=1-0,4=0,6.
того, что в n наблюдениях событие наступит m раз, определятся формулой биномиального распределения (формулой Бернулли):
а) По условию задачи n=8, m=3, p=0,4, q=0,6. Тогда
.
б) Поскольку , то
.
в) Так как , то
.
6. На факультете 730 студентов. Вероятность дня рождения каждого студента в данный день равна 1/365. Вычислить вероятность того, что найдутся три студента, у которых дни рождения совпадают.
Решение.
В данном случае . Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа:
,
где . Значения функции находим из таблицы №1. Имеем:
,
7. При измерении окружности груди у 25 спортсменов установлено, что у троих этот объем равен 88 см, у четверых — 92 см, у пятерых — 96 см, у шестерых — 98 см и у семи — 100 см. СВ Х — окружность груди спортсмена. Записать закон распределения СВ Х. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D (Х) и среднее квадратичное отклонение σ(Х). Найти интегральную функцию распределения F (x) и построить ее график.
Решение.
Вероятность обнаружения среди 25 спортсменов троих с окружностью груди, равной 88 см, . Аналогично вероятность обнаружения среди 25 спортсменов четверых с окружностью груди 92 см и т.д. Получим закон распределения в виде следующей таблицы:
X 88 92 96 98 100
P 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28
Далее находим:
,
,
График функции F (x) приведен на рисунке:
8. Дана функция распределения СВ Х
Найти плотность распределения вероятностей
, математическое ожидание
, дисперсию
и вероятность попадания СВ Х на отрезок [0,5;1,5]. Построить графики функций
.
Решение.
Так как
, то
Далее вычисляем:
Графики функций
и
приведены на рисунке:
9. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 12,5. Вероятность попадания СВ Х в интервал (10;15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания СВ Х в интервал (35;40)?
Решение.
Согласно формуле:
где
математическое ожидание,
среднеквадратическое отклонение с.в. Х.
Находим:
,
откуда
Далее вычисляем:
10. Вероятность некоторого события в каждом испытании из серии 9000 независимых испытаний равна 1/3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что частота этого события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01. Сравнить полученную оценку с результатом применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Решение.
Неравенство Чебышева для СВ Х имеет вид:
.
Для данной задачи неравенство Чебышева записывается в виде:
где
Тогда
Далее находим
Здесь приняты следующие обозначения:
.
Согласно интегральной формуле Муавра-Лапласа,
, где
Аналогично
. Тогда
Таким образом, согласно неравенству Чебышева, имеем оценку
, а по интегральной теореме Муавра-Лапласа