[latexpage]
1. В бригаде 25 человек. Сколькими способами можно избрать троих рабочих в три комиссии (по одному в каждую)?
Решение.
1 способ. Одна комбинация отличается от другой либо хотя бы одним человеком, либо порядком избрания в комиссии. Поэтому число способов избрания троих рабочих равно числу размещений из 25 человек по 3, т.е. $A^3_{25}=25\cdot24\cdot23=13 800$
2 способ. 1 человека можем выбрать 25 способами, 2-го — 24 способами, 3-го 23 способами, согласно правилу умножения получаем: $25\cdot24\cdot23=13 800$
2. В шахматном турнире участвуют 10 гроссмейстеров, 6 международных мастеров и 4 мастера. Шахматисты для первого тура и номер столика для каждой пары участников определяются путем жеребьевки. Найти вероятность того, что за первым столиком встретятся шахматисты одной и той же категории.
Решение.
Число всех равновозможных случаев определения двух соперников из 20 участников равно числу сочетаний из 20 элементов по 2, т.е. $C^2_{20}$. Число групп по 2 человека, которые могут быть составлены из 10 гроссмейстеров, равно $C^2_{10}$. Число групп, которые могут быть составлены из 6 международных мастеров, равно $C^2_{6}$. Из 4 мастеров может быть составлено $C^2_{4}$ пар. Сумма $C^2_{10}+C^2_{6}+C^2_{4}$ равна числу благоприятствующих случаев для встречи за первым столиком шахматистов одной и той же категории.
Следовательно, искомая вероятность: $$P=\frac{C^2_{10}+C^2_{6}+C^2_{4}}{C^2_{20}}=\frac{33}{95}$$
3. В ремонтную мастерскую поступило 15 тракторов. Известно, что 6 из них нуждается в замене двигателя, а остальные — в замене отдельных узлов. Случайным образом отбирается два трактора. Найти вероятность того, что замена двигателя необходима:
а) в двух тракторах;
б) в одном тракторе;
в) хотя бы в одном тракторе.
Решение.
а) Обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранный трактор требует замены двигателя. Согласно условиям задачи, вероятность того, что первым будет отобран трактор, требующий замены двигателя, $P(A)=\frac{6}{15}=\frac25$.
Вероятность того, что второй выбранный трактор также потребует замены двигателя, $P(A)=\frac{5}{14}$. Тогда вероятность события, состоящего в том, что первый и второй отобранные тракторы потребуют замены двигателя, $P=\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{14}=\frac17$. (Перемножили две вероятности по правилу умножения, которому соответствует союз «и»).
б) Обозначим через В событие, состоящее в том, что только один из двух выбранных тракторов требует замены двигателя.
Это событие заключается в том, что первый трактор нуждается в замене двигателя, а второй — лишь в замене отдельных узлов, либо первый трактор требует замены отдельных узлов, а второй — замены двигателя: $P(B)=\frac{2}{5}\cdot\frac{9}{14}+\frac{9}{15}\cdot\frac{6}{14}=\frac{18}{35}$.
в) Обозначим через С событие, состоящее в том, что ни один трактор не потребует замены двигателя. Вероятность того, что первый трактор не потребует замены двигателя, равна 9/15=3/5. Вероятность того, что второй трактор также не потребует замены двигателя, 8/14=4/7. Тогда вероятность того, что оба трактора не потребуют замены двигателя, $P(C)=\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{7}=\frac{12}{35}$. Вероятность того, что хотя бы для одного трактора потребуется замена двигателя, $P=P(C)=1-\frac{12}{35}=\frac{23}{35}$.
4. При обследовании двух одинаковых групп мужчин и женщин было установлено, что среди мужчин 5 % дальтоников, а женщин — 0,25 %. Найти вероятность того, что наугад выбранное лицо:
а) страдает дальтонизмом;
б) является мужчиной, если известно, что оно страдает дальтонизмом.
Решение.
а) Пусть событие А состоит в том, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. При этом возможны следующие гипотезы:$H_1$-выбранное лицо является мужчиной; $H_2$ — выбранное лицо является женщиной.
Из условий задачи находим:
$P(H_1)=P(H_2)=0,5$, согласно классическому определению вероятности. (так как имеем две одинаковые группы, то n=2 -общее число исходов, а выбор мужчины или женщины осуществляется только из одной группы, т.е. m=1 — благоприятствующий исход).
Вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом, при условии, что оно является мужчиной равно 5%=0,05, т.е. $P(A/H_1)=0,05$.
Аналогично определяем вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом, при условии, что оно является женщиной равно 0,25%=0,0025, т.е. $P(A/H_2)=0,0025$.
По формуле полной вероятности вычисляем вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом:
$P(A)=\sum_{i=1}^n P(H_i)P(A/H_i)=0,5\cdot 0,05+0,5 \cdot 0,0025=0,2625;$
б) Условная вероятность произошедшего события А при осуществлении данной гипотезы $H_1$:
$P(H_1/A)=\frac{P(H_1)P(A/H_1)}{P(H_1)(P(A/H_1)+P(H_2)P(A/H_2)}=\frac{0,5\cdot 0,05}{0,02625}\approx 0,952388$
5. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Найти вероятность того, что из случайно зафиксированных в этом месяце 8 дней дождливыми окажутся:
а) три дня;
б) не менее трех дней;
в) не более трех дней.
Решение.
Наблюдения в условиях данной задачи являются независимыми. Вероятность выпадения дождя в любой день сентября p=12/30=0,4, а вероятность того, что в любой день сентября дождя не будет, q=1-p=1-0,4=0,6.
$P_n(m)$ того, что в n наблюдениях событие наступит m раз, определятся формулой биномиального распределения (формулой Бернулли):
$$P_n(m)=C_n^m p^m q^{n-m}$$
а) По условию задачи n=8, m=3, p=0,4, q=0,6. Тогда
$P_8(3)=C_8^3\cdot (0,4)^4\cdot (0,6)^5=0,278692$.
б) Поскольку $n=8,\qquad 3\le m \le 8,\qquad p=0,4,\qquad q=0,6$, то
$P_8(3\le m \le 8)=P_8(3)+P_8(4)+P_8(5)+P_8(6)+P_8(7)+P_8(8)=$
$=1-P_8(0)-P_8(1)-P_8(2)=1-(0,6)^8-8\cdot (0,4)\cdot(0,6)^7-$
$-28 \cdot (0,4)^2 \cdot (0,6)^6=0,624893$.
в) Так как $n=8,\qquad 0\le m \le3,\qquad p=0,4,\qquad q=0,6$, то
$P_8(0\le m \le 
= P_8(0)+P_8(1)+P_8(2)+P_8(3)=$
$=0,016796+0,149292+0,209019+0,278692=0,653309$.
6. На факультете 730 студентов. Вероятность дня рождения каждого студента в данный день равна 1/365. Вычислить вероятность того, что найдутся три студента, у которых дни рождения совпадают.
Решение.
В данном случае $n=730,\qquad m=3, \qquad p=1/365,\qquad q=1-365=364/365$. Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа: $$\Large P_n(m)\approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \varphi(x)$$,
где $x=\frac{(m-np)}{\sqrt{npq}}$. Значения функции $\varphi$ находим из таблицы №1. Имеем:
$x=\frac{3-\frac{730}{365}}{\sqrt{730 \cdot \frac{1}{365}\cdot \frac{364}{365}}}=0,71$,
$\varphi(0,71)=0,3101,\qquad P_{730}(3)\approx 0,2210$
7. При измерении окружности груди у 25 спортсменов установлено, что у троих этот объем равен 88 см, у четверых — 92 см, у пятерых — 96 см, у шестерых — 98 см и у семи — 100 см. СВ Х — окружность груди спортсмена. Записать закон распределения СВ Х. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратичное отклонение σ(Х). Найти интегральную функцию распределения F(x) и построить ее график.
Решение.
Вероятность обнаружения среди 25 спортсменов троих с окружностью груди, равной 88 см, $p_1=\frac{3}{25}=0,12$. Аналогично вероятность обнаружения среди 25 спортсменов четверых с окружностью груди 92 см $p_2=\frac{4}{25}=0,16$ и т.д. Получим закон распределения в виде следующей таблицы:
X 88 92 96 98 100
P 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28
Далее находим:
$$M(X)=88\cdot 0,12+92\cdot 0,16+96\cdot 0,20+98\cdot 0,24+100\cdot 0,28=96$$,
$$M(X^2)=88^2 \cdot 0,12+92^2 \cdot 0,16+96^2 \cdot 0,20+98^2 \cdot 0,24+100^2 \cdot 0,28=\\=9231,68$$
$$D(X)=M(X^2)-{(M(X))}^2=9231,68-96^2=15,68$$,
$$\sigma (X)=\sqrt{D(X)}=3,96$$
$$F(x)=\{ 0, \qquad \qquad\qquad x\le 88, \\ 0,12, \qquad 88< x \le 92,\\0,28, \qquad 92<x \le 96,\\ 0,48,\qquad 96<x \le 98,\\ 0,72,\qquad 98<x \le 100,\\ 1,\qquad\qquad\qquad x>100. $$
График функции F(x) приведен на рисунке:
8. Дана функция распределения СВ Х
$$F(x)=\{ 0, \qquad \qquad x<0 \\ \frac{x^2}{4}, \qquad 0\le x \le 2, \\ 1, \qquad \qquad x>2$$
Найти плотность распределения вероятностей $$f(x)$$, математическое ожидание $$M(X)$$, дисперсию $$D(X)$$ и вероятность попадания СВ Х на отрезок [0,5;1,5]. Построить графики функций $$F(x), f(x)$$.
Решение.
Так как $$f(x)=F'(x)$$, то $$F(x)=\{ 0, \qquad \qquad\qquad x<0 \\ \frac{x}{2}, \qquad 0\le x \le 2, \\ 0, \qquad \qquad\qquad x>2$$
Далее вычисляем:
$$M(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f(x) dx=\int\limits_{-\infty}^{0} x\cdot 0 dx+ \int\limits_0^2 x\cdot\frac{x}{2} dx+\int\limits_2^{+\infty} x\cdot 0 dx=\\$$
$$=0+\frac12 \int\limits_0^2 x^2 dx+0=\frac12 \int\limits_0^2 x^2 dx=\left. \frac12\cdot \frac{x^3}{3} \right |_0^2=\frac43,$$
$$M(X^2)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x^2\cdot f(x) dx=\frac12 \int\limits_0^2 x^3 dx=\left. \frac12\cdot \frac{x^4}{4} \right |_0^2=2$$
$$D(X)=M(X^2)-{(M(X))}^2=2-\frac{16}{9}=\frac29,$$
$$P(0,5\le X \le 1,5)=F(1,5)-F(0,5)=\frac{(1,5)^2}{4}-\frac{(0,5)^2}{4}=0,5.$$
Графики функций $$F(x)$$ и $$f(x)$$ приведены на рисунке:
9. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 12,5. Вероятность попадания СВ Х в интервал (10;15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания СВ Х в интервал (35;40)?
Решение.
Согласно формуле:
$$\Large P\{\alpha<X<\beta\}=\Phi\left(\frac{\beta-a}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{\alpha-a}{\sigma}\right),$$
где $$a$$ математическое ожидание, $$\sigma$$ среднеквадратическое отклонение с.в. Х.
Находим:
$$ P\{10<X<15\}=\Phi\left(\frac{15-12,5}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{10-12,5}{\sigma}\right)=0,2$$
$$\Large\Phi\left(\frac{2,5}{\sigma}\right)-\Phi\left(-\frac{2,5}{\sigma}\right)=0,2,\qquad\2\Phi\left(\frac{2,5}{\sigma}\right)=0,2,\qquad\Phi\left(\frac{2,5}{\sigma}\right)=0,1$$,
откуда $$\frac{2,5}{\sigma}=0,25,\qquad\sigma=\frac{2,5}{0,25}=10.$$
Далее вычисляем:
$$\Large P\{35<X<40\}=\Phi\left(\frac{40-12,5}{10}\right)-\Phi\left(\frac{30-12,5}{10}\right)=\\ =\Phi(2,75)-\Phi(2,25)=0,4970-0,4878=0,0092.$$
10. Вероятность некоторого события в каждом испытании из серии 9000 независимых испытаний равна 1/3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что частота этого события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01. Сравнить полученную оценку с результатом применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Решение.
Неравенство Чебышева для СВ Х имеет вид:
$$\Large P(\mid X-M(X) \mid<\varepsilon)\ge1-\frac{D(X)}{{\varepsilon}^2}$$.
Для данной задачи неравенство Чебышева записывается в виде:
$$P\left(\mid\frac{m}{n}-p\mid <0,01\right)=P(\mid m-np\mid\le 90)\ge1-\frac{D(X)}{90^2},$$
где
$$X=m;\qquad p=\frac13;\qquad n=9000;\qquad M(X)=np=9000\cdot\frac13=3000;\\ D(X)=npq=9000\cdot\frac13\cdot\frac23=2000.$$
Тогда $$P\left(\mid\frac{m}{n}-p\mid<0,01\right)\ge1-\frac{2000}{90^2}=1-\frac{20}{81}=\frac{61}{81}\approx 0,7531.$$
Далее находим
$$P\left(\mid\frac{m}{n}-p\mid<\varepsilon\right)=P(p-\varepsilon\le\frac{m}{n}\le p+\varepsilon)=P(np-n\varepsilon\le m\le np+n\varepsilon)=\\ =P(m_1\le m\le m_2).$$
Здесь приняты следующие обозначения:
$$m_1=np-n\varepsilon;\qquad m_2=np+n\varepsilon$$.
Согласно интегральной формуле Муавра-Лапласа, $$P(m_1\le m \le m_2)=\Phi(x_2)-\Phi(x_1)$$, где
$$x_1=\frac{m_1-np}{\sqrt{npq}}=\frac{np-n\varepsilon-np}{\sqrt{npq}}=-\frac{9000\cdot 0,01}{\sqrt{2000}}=-\frac{9}{\sqrt{20}}\approx-2,01.$$
Аналогично $$x_2=2,01$$. Тогда
$$P\left(\mid\frac{m}{n}-p\mid\le0,01\right)=P(m_1\le m\le m_2)=P(2910\le m \le 3090)=\\ =\Phi(2,01)-\Phi(-2,01)=-2\Phi(2,01)=0,9545.$$
Таким образом, согласно неравенству Чебышева, имеем оценку
$$P\left(\mid\frac{m}{n}-\frac13\mid<0,01\right)\ge0,7531$$, а по интегральной теореме Муавра-Лапласа $$P\left(\mid\frac{m}{n}-\frac13\mid<0,01\right) \approx0.9545.$$