Биномиальные коэффициенты и их применение

Содержание

Введение в биномиальные коэффициенты
Треугольник Паскаля
Формула бинома Ньютона
Полиномиальная формула
Задания для самостоятельной работы

Введение в биномиальные коэффициенты

Биномиальные коэффициенты являются одним из ключевых понятий комбинаторики и алгебры. Они используются для выражения коэффициентов разложения бинома и имеют широкий спектр применений в различных областях математики, физики, информатики и других наук.

В этой статье мы рассмотрим, что такое биномиальные коэффициенты, как их вычислять с помощью треугольника Паскаля, разберем примеры применения биномиальных коэффициентов в различных областях, включая разложение бинома Ньютона и полиномиальные формулы.

Треугольник Паскаля

Ключевым инструментом для работы с биномиальными коэффициентами является Треугольник Паскаля. Этот треугольник помогает быстро находить значения биномиальных коэффициентов и играет важную роль в комбинаторике и алгебре.

Треугольник Паскаля — это бесконечный числовой треугольник, в котором на вершине и по боковым сторонам находятся единицы, каждое из остальных чисел является суммой двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Нумерация строк и элементов в строке начинаются с нуля.

Он является важным инструментом при работе с биномиальными коэффициентами и формулой Бинома Ньютона.

Таблица 3.3.1 – Треугольник Паскаля ischanow.com — Таблица 3.3.1 – Треугольник Паскаля

Например, число 6 в четвертой строке получается, как сумма чисел 3 и 3 в третьей строке. Треугольник Паскаля позволяет легко вычислять биномиальные коэффициенты и решать различные комбинаторные задачи.

Формула бинома Ньютона

Бином Ньютона, основанный на биномиальных коэффициентах, представляет собой формулу для раскрытия выражения в степени, позволяя находить коэффициенты перед членами разложения.

Формула бинома Ньютона:

$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}} = C_{n}^{0}a^{n} + C_{n}^{1}a^{n - 1}b + C_{n}^{2}a^{n - 2}b^{2} + \ldots + C_{n}^{n}b^{n},$

где $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

Некоторые свойства биномиальных коэффициентов:

$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1; \quad C_{n}^{1} = C_{n}^{n - 1} = n;$
$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ — свойство симметричности;
$C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k} + C_{n - 1}^{k - 1}$ — свойство арифметического треугольника;

$\begin{cases} C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \ldots + C_{n}^{n} = 2^{n} \\ C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - \ldots + (-1)^{n}C_{n}^{n} = 0 \end{cases}$

— свойства сумм.

Биномиальные коэффициенты $C_{n}^{k}$ удобно располагать в виде треугольника Паскаля.

Таблица 3.3.2 – Треугольник Паскаля из биномиальных коэффициентов

Анализ элементов таблицы 3.3.2 позволяет сделать вывод, что нижний индекс биномиальных коэффициентов определяет номер строки элемента, а верхний — номер элемента в строке. Например, биномиальный коэффициент $C_{4}^{3}$ определяет элемент треугольника Паскаля, который находится на третьей позиции в четвертой строке (нумерация строк и элементов в строке начинаются с нуля).

Каждая $(n + 1)$ -я строка треугольника Паскаля состоит из биномиальных коэффициентов, получающихся при раскрытии скобок $(a + b)^{n}$ .

3.3.1. Каково значение второго элемента в шестой строке треугольника Паскаля (нумерация строк и элементов в строке начинаются с нуля)?

Решение.

Рассмотрим несколько вариантов решения задачи.

Можно построить треугольник Паскаля и посмотреть, чему равен второй элемент в шестой строке. В треугольнике Паскаля нумерация строк и элементов в строке начинаются с нуля, поэтому элемент равен 15. В таблице 3.3.3 элемент выделен полужирным начертанием.

Таблица 3.3.3 – Элемент в треугольнике Паскаля

Для вычисления данных значений удобно использовать биномиальные коэффициенты.

Таблица 3.3.4 – Элемент в треугольнике Паскаля — Таблица 3.3.4 — Элемент $C_{6}^{2}$ в треугольнике Паскаля

Находим второй элемент в шестой строке треугольника Паскаля и, воспользовавшись формулой для вычисления биномиальных коэффициентов $C_{6}^{2}$ , вычислим его:

$C_{6}^{2} = \frac{6!}{2!(6 - 2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15.$

Таким образом, второе число в шестой строке треугольника Паскаля равно 15.

Можно заметить, что для определения значения любого элемента треугольника Паскаля не обязательно выполнять построение треугольника, нужно только знать номер строки — $n$ и номер элемента — $k$ , воспользоваться формулой $C_{n}^{k}$ и вычислить необходимое значение.

3.3.2. Каково значение третьего элемента в четвертой строке треугольника Паскаля (нумерация строк и элементов в строке начинаются с нуля)?

3.3.3. Какова сумма чисел в четвертой строке треугольника Паскаля (нумерация строк и элементов в строке начинаются с нуля)?

3.3.4. Каково значение первого элемента в седьмой строке треугольника Паскаля (нумерация строк и элементов в строке начинаются с нуля)?

Полиномиальная формула

Полиномиальная формула — это обобщение биномиальной формулы, которая позволяет раскладывать полином вида $(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{m})^{n}$ , т. е. раскрывать выражения в степени с произвольным количеством слагаемых.

Полиномиальная формула имеет вид:

$(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{m})^{n} = \sum_{k_{1} + \ldots + k_{m} = n}^{}{P\left( k_{1},k_{2},\ldots,k_{m} \right)x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\ldots x_{m}^{k_{m}}},$

где сумма берется по всем возможным целочисленным значениям $k_{1},k_{2},\ldots,k_{m}$ , удовлетворяющим условию $k_{1} + k_{2} + \ldots + k_{m} = n$ ;

$P\left( k_{1},k_{2},\ldots,k_{m} \right) = \frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot \ldots \cdot k_{m}!}$ — полиномиальные коэффициенты.

Эта формула позволяет нам вычислить коэффициенты перед каждым членом разложения полинома. Каждый член в разложении представляет собой произведение степеней переменных $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots$ в соответствии со значениями $k_{1},k_{2},\ldots,k_{m}$ , а затем умножается на коэффициент $\frac{n!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot \ldots \cdot k_{m}!}$ .

3.3.5. Найдите разложение выражения $(x + y)^{3}$ с использованием полиномиальной формулы.

Решение.

Используя полиномиальную формулу, мы можем выразить это выражение следующим образом:

$(x + y)^{3} = \sum_{k_{1} + k_{2} = 3}^{}\frac{3!}{k_{1}! \cdot k_{2}!}x^{k_{1}}y^{k_{2}},$

где сумма берется по всем возможным значениям $k_{1}$ и $k_{2}$ , удовлетворяющим условию $k_{1} + k_{2} = 3$ .

Теперь давайте разложим это выражение:

$(x + y)^{3} = \frac{3!}{0! \cdot 3!}x^{0}y^{3} + \frac{3!}{1! \cdot 2!}x^{1}y^{2} + \frac{3!}{2! \cdot 1!}x^{2}y^{1} + \frac{3!}{3! \cdot 0!}x^{3}y^{0} =$

$= y^{3} + \frac{6}{2}xy^{2} + \frac{6}{2}x^{2}y + x^{3} =$

$= y^{3} + 3xy^{2} + 3x^{2}y + x^{3}.$

Таким образом, разложение выражения $(x + y)^{3}$ будет иметь вид: $y^{3} + 3xy^{2} + 3x^{2}y + x^{3}$ .

Ответ: $y^{3} + 3xy^{2} + 3x^{2}y + x^{3}$ .

3.3.6. Найдите разложение выражения $(a + b)^{4}$ с использованием полиномиальной формулы.

3.3.7. Разложите выражение $(x + y + z)^{2}$ с использованием полиномиальной формулы и найдите сумму всех членов разложения.

3.3.8. Используя полиномиальную формулу, разложите выражение $(a + b + c + d)^{3}$ и найдите коэффициент перед каждым членом разложения.

Задания для самостоятельной работы

3.4.19. Каково значение второго элемента в четвертой строке треугольника Паскаля (нумерация строк и элементов в строке начинаются с нуля)?

3.4.20. Какова сумма чисел в третьей строке треугольника Паскаля (нумерация строк и элементов в строке начинаются с нуля)?

3.4.21. Каково значение третьего элемента в седьмой строке треугольника Паскаля (нумерация строк и элементов в строке начинаются с нуля)?

3.4.22. Найдите разложение выражения $(a + b)^{7}$ с использованием полиномиальной формулы.

3.4.23. Разложите выражение $(x + y + z)^{3}$ с использованием полиномиальной формулы и найдите сумму всех членов разложения.

3.4.24. Используя полиномиальную формулу, разложите выражение $(a + b + c + d)^{4}$ и найдите коэффициент перед каждым членом разложения.