Декартово произведение множеств

Пусть у нас есть два множества A и B. Декартово произведение множеств $A$ и $B$ , обозначаемое как $A \times B$ , представляет собой множество всех упорядоченных пар $(a,b)$ , где $a \in A$ и $b \in B$ :

$A \times B = \{ (a,b) \mid a \in A, b \in B \}.$

Пример. Пусть $A = \{1, 2\}$ и $B = \{x, y\}$ . Тогда декартово произведение $A \times B$ будет иметь вид:

$A \times B = \{ (1,x), (1,y), (2,x), (2,y) \}.$

Декартово произведение является способом комбинирования элементов из двух множеств, и оно играет важную роль в теории множеств, а также в математике и информатике.

Свойства декартового произведения множеств.

Декартово произведение множеств $A$ и $B$ , обозначаемое как $A \times B$ , состоит из всех упорядоченных пар $(a,b)$ , где $a \in A$ и $b \in B$ .
Порядок элементов в упорядоченных парах имеет значение. Пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются различными.
Если множество $A$ содержит $m$ элементов, а множество $B$ содержит $n$ элементов, то декартово произведение $A \times B$ содержит $m \cdot n$ элементов:

$|A \times B| = |A| \cdot |B| = m \cdot n$ .

Это общее количество упорядоченных пар, которые можно образовать, выбирая по одному элементу из каждого множества $A$ и $B$ .

Декартово произведение множеств можно обобщить на более чем два множества. Если у нас есть множества $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{k}$ , то их декартово произведение обозначается как $A_{1} \times A_{2} \times \ldots \times A_{k}$ и состоит из упорядоченных кортежей $(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k})$ , где $a_{i} \in A_{i}$ для каждого $i$ .

Когда множество $A$ пусто $(|A| = 0)$ или множество $B$ пусто $(|B| = 0)$ , то декартово произведение $A \times B$ также будет пустым множеством $(|A \times B| = 0)$ .

Практический материал

1.3.1. Проверить справедливость равенства $A \times B = \left( A \times (B \cap C) \right) \cup \left( A \times (B \setminus C) \right)$ для множеств $A = \{2, 5\}$ , $B = \{3, 5\}$ , $C = \{2, 3\}$ ; выяснить, верно ли равенство для произвольных множеств $A$ , $B$ , $C$ .

Решение.

Декартово произведение $A \times B$ включает все возможные упорядоченные пары элементов из $A$ и $B$ :

$A \times B = \{(2, 3), (2, 5), (5, 3), (5, 5)\}.$

Найдем $A \times (B \cap C)$ и $A \times (B \setminus C)$ . Сначала найдем пересечение $B \cap C$ , а затем разность $B \setminus C$ :

$B \cap C = \{3\}; \quad B \setminus C = \{5\}.$

Теперь найдем декартовы произведения:

$A \times (B \cap C) = \{(2, 3), (5, 3)\};$

$A \times (B \setminus C) = \{(2, 5), (5, 5)\}.$

Объединение $A \times (B \cap C)$ и $A \times (B \setminus C)$ :

$\left( A \times (B \cap C) \right) \cup \left( A \times (B \setminus C) \right) = \{(2, 3), (5, 3)\} \cup \{(2, 5), (5, 5)\} =$

$=\{(2, 3), (2, 5), (5, 3), (5, 5)\}.$

Сравнение результатов:

$A \times B = \{(2, 3), (2, 5), (5, 3), (5, 5)\};$

$\left( A \times (B \cap C) \right) \cup \left( A \times (B \setminus C) \right) = \{(2, 3), (2, 5), (5, 3), (5, 5)\}.$

Результаты совпадают, следовательно, равенство для данных множеств выполняется.

Рассмотрим множества в общем виде, с буквенными элементами. Возьмем для примера следующие множества: $A = \{a, b\}$ ; $B = \{x, y\}$ ; $C = \{y, z\}$ .

Теперь подробно рассмотрим каждый шаг равенства:

$A \times B = \left( A \times (B \cap C) \right) \cup \left( A \times (B \setminus C) \right).$

Декартово произведение $A \times B$ состоит из всех возможных пар элементов из $A$ и $B$ :

$A \times B = \{(a,x), (a,y), (b,x), (b,y)\}.$

Вычисляем $B \cap C$ и $B \setminus C$ :

$B \cap C = \{y\}; \quad B \setminus C = \{x\}.$

Вычисляем $A \times (B \cap C)$ и $A \times (B \setminus C)$ :

$A \times (B \cap C) = \{(a,y), (b,y)\};$

$A \times (B \setminus C) = \{(a,x), (b,x)\}.$

Вычисляем объединение $(A \times (B \cap C)) \cup (A \times (B \setminus C))$ :

$\left( A \times (B \cap C) \right) \cup \left( A \times (B \setminus C) \right) = \{(a,y), (b,y), (a,x), (b,x)\}.$

Сравнение результатов:

$A \times B = \{(a,x), (a,y), (b,x), (b,y)\};$

$\left( A \times (B \cap C) \right) \cup \left( A \times (B \setminus C) \right) = \{(a,y), (b,y), (a,x), (b,x)\}.$

Результаты совпадают, следовательно, равенство выполняется для данных множеств.

Вывод. Равенство $A \times B = \left( A \times (B \cap C) \right) \cup \left( A \times (B \setminus C) \right)$ верно для множеств $A = \{a, b\}$ , $B = \{x, y\}$ и $C = \{y, z\}$ , что подтверждает его справедливость в общем виде для произвольных множеств.

Задания для самостоятельной работы

1.3.2. Проверить справедливость равенства $B \times (C \cap A) = (B \times C) \cap (B \times A)$ для множеств $A = \{4, 7\}$ , $B = \{5, 7\}$ , $C = \{4, 5\}$ ; выяснить, верно ли равенство для произвольных множеств $A$ , $B$ , $C$ .

1.3.3. Проверить справедливость равенства $C \times (A \Delta B) = (C \times (A \setminus B)) \cup (C \times (B \setminus A))$ для множеств $A = \{1, 5\}$ , $B = \{2, 5\}$ , $C = \{1, 2\}$ ; выяснить, верно ли равенство для произвольных множеств $A$ , $B$ , $C$ .

1.3.4. Проверить справедливость равенства $A \times (B \Delta C) = (A \times (B \setminus C)) \cup (A \times (C \setminus B))$ для множеств $A = \{3, 8\}$ , $B = \{4, 8\}$ , $C = \{3, 4\}$ ; выяснить, верно ли равенство для произвольных множеств $A$ , $B$ , $C$ .

1.6.31. Проверить справедливость равенства $B \times (A \cup C) = (B \times A) \cup (B \times C)$ для множеств $A = \{6, 9\}$ , $B = \{7, 9\}$ , $C = \{6, 7\}$ ; выяснить, верно ли равенство для произвольных множеств $A$ , $B$ , $C$ .

1.6.32. Проверить справедливость равенства $C \times (B \cap A) = (C \times B) \cap (C \times A)$ для множеств $A = \{2, 4\}$ , $B = \{3, 4\}$ , $C = \{2, 3\}$ ; выяснить, верно ли равенство для произвольных множеств $A$ , $B$ , $C$ .

1.6.33. Проверить справедливость равенства $A \times (C \Delta B) = (A \times C) \cup (A \times (B \backslash C))$ для множеств $A = \{5, 8\}$ , $B = \{6, 8\}$ , $C = \{5, 6\}$ ; выяснить, верно ли равенство для произвольных множеств $A$ , $B$ , $C$ .