Пусть у нас есть два множества A и B. Декартово произведение множеств $A$ и $B$, обозначаемое как $A \times B$, представляет собой множество всех упорядоченных пар $(a,b)$, где $a \in A$ и $b \in B$:
$$
A \times B = \{ (a,b) \mid a \in A, b \in B \}.
$$
Пример. Пусть $A = \{1, 2\}$ и $B = \{x, y\}$. Тогда декартово произведение $A \times B$ будет иметь вид:
$$
A \times B = \{ (1,x), (1,y), (2,x), (2,y) \}.
$$
Декартово произведение является способом комбинирования элементов из двух множеств, и оно играет важную роль в теории множеств, а также в математике и информатике.
Свойства декартового произведения множеств.
- Декартово произведение множеств $A$ и $B$, обозначаемое как $A \times B$, состоит из всех упорядоченных пар $(a,b)$, где $a \in A$ и $b \in B$.
- Порядок элементов в упорядоченных парах имеет значение. Пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются различными.
- Если множество $A$ содержит $m$ элементов, а множество $B$ содержит $n$ элементов, то декартово произведение $A \times B$ содержит $m \cdot n$ элементов:
$|A \times B| = |A| \cdot |B| = m \cdot n$.
Это общее количество упорядоченных пар, которые можно образовать, выбирая по одному элементу из каждого множества $A$ и $B$.
- Декартово произведение множеств можно обобщить на более чем два множества. Если у нас есть множества $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{k}$, то их декартово произведение обозначается как $A_{1} \times A_{2} \times \ldots \times A_{k}$ и состоит из упорядоченных кортежей $(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k})$, где $a_{i} \in A_{i}$ для каждого $i$.
- Когда множество $A$ пусто $(|A| = 0)$ или множество $B$ пусто $(|B| = 0)$, то декартово произведение $A \times B$ также будет пустым множеством $(|A \times B| = 0)$.
Практический материал
1.3.1. Проверить справедливость равенства $A \times B = \left( A \times (B \cap C) \right) \cup \left( A \times (B \setminus C) \right)$ для множеств $A = \{2, 5\}$, $B = \{3, 5\}$, $C = \{2, 3\}$; выяснить, верно ли равенство для произвольных множеств $A$, $B$, $C$.
Решение.
- Декартово произведение $A \times B$ включает все возможные упорядоченные пары элементов из $A$ и $B$:
$$
A \times B = \{(2, 3), (2, 5), (5, 3), (5, 5)\}.
$$
Найдем $A \times (B \cap C)$ и $A \times (B \setminus C)$. Сначала найдем пересечение $B \cap C$, а затем разность $B \setminus C$:
$$
B \cap C = \{3\}; \quad B \setminus C = \{5\}.
$$
Теперь найдем декартовы произведения:
$$
A \times (B \cap C) = \{(2, 3), (5, 3)\};
$$
$$
A \times (B \setminus C) = \{(2, 5), (5, 5)\}.
$$
Объединение $A \times (B \cap C)$ и $A \times (B \setminus C)$:
$$\left( A \times (B \cap C) \right) \cup \left( A \times (B \setminus C) \right) = \{(2, 3), (5, 3)\} \cup \{(2, 5), (5, 5)\} = $$
$$=\{(2, 3), (2, 5), (5, 3), (5, 5)\}.$$
Сравнение результатов:
$$
A \times B = \{(2, 3), (2, 5), (5, 3), (5, 5)\};
$$
$$
\left( A \times (B \cap C) \right) \cup \left( A \times (B \setminus C) \right) = \{(2, 3), (2, 5), (5, 3), (5, 5)\}.
$$
Результаты совпадают, следовательно, равенство для данных множеств выполняется.
- Рассмотрим множества в общем виде, с буквенными элементами. Возьмем для примера следующие множества: $A = \{a, b\}$; $B = \{x, y\}$; $C = \{y, z\}$.
Теперь подробно рассмотрим каждый шаг равенства:
$$
A \times B = \left( A \times (B \cap C) \right) \cup \left( A \times (B \setminus C) \right).
$$
Декартово произведение $A \times B$ состоит из всех возможных пар элементов из $A$ и $B$:
$$
A \times B = \{(a,x), (a,y), (b,x), (b,y)\}.
$$
Вычисляем $B \cap C$ и $B \setminus C$:
$$
B \cap C = \{y\}; \quad B \setminus C = \{x\}.
$$
Вычисляем $A \times (B \cap C)$ и $A \times (B \setminus C)$:
$$
A \times (B \cap C) = \{(a,y), (b,y)\};
$$
$$
A \times (B \setminus C) = \{(a,x), (b,x)\}.
$$
Вычисляем объединение $(A \times (B \cap C)) \cup (A \times (B \setminus C))$:
$$
\left( A \times (B \cap C) \right) \cup \left( A \times (B \setminus C) \right) = \{(a,y), (b,y), (a,x), (b,x)\}.
$$
Сравнение результатов:
$$
A \times B = \{(a,x), (a,y), (b,x), (b,y)\};
$$
$$
\left( A \times (B \cap C) \right) \cup \left( A \times (B \setminus C) \right) = \{(a,y), (b,y), (a,x), (b,x)\}.
$$
Результаты совпадают, следовательно, равенство выполняется для данных множеств.
Вывод. Равенство $A \times B = \left( A \times (B \cap C) \right) \cup \left( A \times (B \setminus C) \right)$ верно для множеств $A = \{a, b\}$, $B = \{x, y\}$ и $C = \{y, z\}$, что подтверждает его справедливость в общем виде для произвольных множеств.
Задания для самостоятельной работы
1.3.2. Проверить справедливость равенства $B \times (C \cap A) = (B \times C) \cap (B \times A)$ для множеств $A = \{4, 7\}$, $B = \{5, 7\}$, $C = \{4, 5\}$; выяснить, верно ли равенство для произвольных множеств $A$, $B$, $C$.
1.3.3. Проверить справедливость равенства $C \times (A \Delta B) = (C \times (A \setminus B)) \cup (C \times (B \setminus A))$ для множеств $A = \{1, 5\}$, $B = \{2, 5\}$, $C = \{1, 2\}$; выяснить, верно ли равенство для произвольных множеств $A$, $B$, $C$.
1.3.4. Проверить справедливость равенства $A \times (B \Delta C) = (A \times (B \setminus C)) \cup (A \times (C \setminus B))$ для множеств $A = \{3, 8\}$, $B = \{4, 8\}$, $C = \{3, 4\}$; выяснить, верно ли равенство для произвольных множеств $A$, $B$, $C$.
1.6.31. Проверить справедливость равенства $B \times (A \cup C) = (B \times A) \cup (B \times C)$ для множеств $A = \{6, 9\}$, $B = \{7, 9\}$, $C = \{6, 7\}$; выяснить, верно ли равенство для произвольных множеств $A$, $B$, $C$.
1.6.32. Проверить справедливость равенства $C \times (B \cap A) = (C \times B) \cap (C \times A)$ для множеств $A = \{2, 4\}$, $B = \{3, 4\}$, $C = \{2, 3\}$; выяснить, верно ли равенство для произвольных множеств $A$, $B$, $C$.
1.6.33. Проверить справедливость равенства $A \times (C \Delta B) = (A \times C) \cup (A \times (B \backslash C))$ для множеств $A = \{5, 8\}$, $B = \{6, 8\}$, $C = \{5, 6\}$; выяснить, верно ли равенство для произвольных множеств $A$, $B$, $C$.