Множества и операции над ними

Для визуализации множеств и отношений между ними будем использовать такой инструмент, как круги диаграммы Эйлера-Венна. Диаграммы Эйлера-Венна — это графические методы визуализации множеств и их взаимосвязей, предложенные Джоном Венном в 1880-х годах и независимо от него Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Диаграммы Эйлера-Венна — мощный инструмент для визуализации множеств и их отношений, делая абстрактные концепции более доступными и понятными.

Диаграммы Эйлера-Венна широко используются для иллюстрации логических отношений между множествами, операций над множествами (таких как объединение, пересечение, разность) и других множественных концепций. Они предоставляют интуитивное и наглядное представление сложных структур данных и помогают в понимании абстрактных математических концепций для широкой аудитории.

Над множествами могут предприниматься различные операции по их преобразованию. Основные операции над множествами по аналогии с операциями над числами получили названия алгебраических. Операции над множествами опишем алгебраической записью и изобразим графически с помощью диаграмм Эйлера-Венна: универсальное множество ( $U$ ) образует прямоугольник, внутри которого находятся круги.

Диаграмма Эйлера-Венна https://ischanow.com — Диаграмма Эйлера-Венна

Содержание

Объединение множеств
Пересечение множеств
Разность множеств
Симметрическая разность множеств
Дополнение множества
Нижняя и верхняя грани множества, максимум, минимум
Практический материал
Задания для самостоятельной работы

Объединение множеств

Объединением множеств $A$ и $B$ называется новое множество, обозначаемое как $A \cup B$ , все элементы которого являются либо элементами множества $A$ , либо элементами множества $B$ :

$A \cup B = \{ x \mid x \in A$ или $x \in B \}$

Объединение множеств ischanow.com — Объединение множеств

Мощность нового множества будет равна сумме мощностей каждого из образующих его старых множеств.

Пересечение множеств

Пересечением множеств $A$ и $B$ называется множество, обозначаемое как $A \cap B$ , элементы которого одновременно являются и элементами множества $A$ , и элементами множества $B$ :

$A \cap B = \{ x \mid x \in A$ и $x \in B \}$

Пересечение множеств ischanow.com — Пересечение множеств

Для пересечения множеств выполняется операция включения: $A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$ и $A \cap B \subseteq B \subseteq A \cup B$ .
Мощность нового множества не будет превосходить мощность меньшего по числу элементов множества.

Разность множеств

Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество, обозначаемое как $A \setminus B$ , которое будет содержать элементы из $A$ , которых нет в $B$ :

$A \setminus B = \{ x \mid x \in A$ и $x \notin B \}$

Разность множеств ischanow.com — Разность множеств

Мощность нового множества не будет превосходить мощность множества $A$ .

Симметрическая разность множеств

Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называется множество, обозначаемое как $A \Delta B$ или $A + B$ , элементы которого принадлежат $A$ и не принадлежат $B$ , и принадлежат $B$ , но не принадлежат $A$ , т. е. $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ .

$A \Delta B = \{ x \mid (x \in A$ и $x \notin B)$ или $(x \notin A$ и $x \in B) \}$

Симметрическая разность множеств ischanow.com — Симметрическая разность множеств

Мощность нового множества может быть любой: от нуля до суммы мощностей множеств $A$ и $B$ .

Дополнение множества

Дополнением множества $A$ называется множество, в которое входят все элементы, которые принадлежат универсальному множеству, но не принадлежат $A$ :

$\overline{A} = U \setminus A = \{ x \mid x \notin A \}$

Дополнение множества ischanow.com — Дополнение множества

Примеры

1.2.1. Даны универсальное множество $U = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$ , множества $A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \}$ и $B = \{ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$ . Найти $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A \setminus B$ , $A \Delta B$ , $\overline{A}$ .

Решение.

Объединение множеств:

$A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$ .

Пересечение множеств:

$A \cap B = \{ 3, 4, 5, 6, 7 \}$ .

Разность множеств:

$A \setminus B = \{ 1, 2 \}$ .

Симметрическая разность множеств:

$A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{ 1, 2 \} \cup \{ 8, 9 \} = \{ 1, 2, 8, 9 \}$ .

Дополнение множества $A$ :

$\overline{A} = U \setminus A = \{ 0, 8, 9 \}$ .

1.2.2. Даны множества $A = \{ k, q, c, h \}$ , $B = \{ k, q, h \}$ . Найти $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A \setminus B$ , $A \Delta B$ , $\overline{A}$ .

Решение.

Объединение множеств:

$A \cup B = \{ k, q, c, h \}$ .

Пересечение множеств:

$A \cap B = \{ k, q, h \}$ .

Разность множеств $A$ и $B$ :

$A \setminus B = \{ c \}$ .

Симметрическая разность множеств:

$A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{ c \} \cup \{ \varnothing \} = \{ c \}$ .

Дополнение множества $A$ :

$\overline{A} = A \setminus A = \{ \varnothing \}$ .

1.2.3. Даны множества $A = \{ 3, 4, 5 \}$ , $B = \{ 4, 5, 6 \}$ , $C = \{ 6, 7, 9 \}$ . Определить $A \cup B \cap C$ и $(A \cup B) \cap C$ .

Решение.

Выполняем действия согласно приоритету операций (пересечение, потом объединение) $A \cup B \cap C$ :

$B \cap C = \{ 4, 5, 6 \} \cap \{ 6, 7, 9 \} = \{ 6 \}$ ;

$A \cup B \cap C = \{ 3, 4, 5 \} \cup \{ 6 \} = \{ 3, 4, 5, 6 \}$ .

Выполним операции согласно их приоритету, задаваемому скобками $(A \cup B) \cap C$ :

$A \cup B = \{ 3, 4, 5 \} \cup \{ 4, 5, 6 \} = \{ 3, 4, 5, 6 \}$ ;

$(A \cup B) \cap C = \{ 3, 4, 5, 6 \} \cap \{ 6, 7, 9 \} = \{ 6 \}$ .

Ответ: $A \cup B \cap C = \{ 3, 4, 5, 6 \}$ ; $(A \cup B) \cap C = \{ 6 \}$ .

1.2.4. Даны множества $A = \{ 2, 3, 5, 7 \}$ и $B = \{ 3, 4, 6, 8 \}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \setminus B$ , $B \setminus A$ , $A \Delta B$ .

Решение.

Пересечение множеств $A$ и $B$ :

$A \cap B = \{ 2, 3, 5, 7 \} \cap \{ 3, 4, 6, 8 \} = \{ 3 \}$ .

Объединение множеств $A$ и $B$ :

$A \cup B = \{ 2, 3, 5, 7 \} \cup \{ 3, 4, 6, 8 \} = \{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \}$ .

Разность множеств $A$ и $B$ :

$A \setminus B = \{ 2, 3, 5, 7 \} \setminus \{ 3, 4, 6, 8 \} = \{ 2, 5, 7 \}$ .

Разность множеств $B$ и $A$ :

$B \setminus A = \{ 3, 4, 6, 8 \} \setminus \{ 2, 3, 5, 7 \} = \{ 4, 6, 8 \}$ .

Симметрическая разность множеств $A$ и $B$ :

$A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{ 2, 5, 7 \} \cup \{ 4, 6, 8 \} = \{ 2, 4, 5, 6, 7, 8 \}$ .

1.2.5. Пусть $X = \{ 1, 3, 5, 7, 9 \}$ и $Y = \{ 2, 4, 6, 8, 10 \}$ . Определить результаты следующих операций: $X \cap Y$ ; $X \cup Y$ ; $X \setminus Y$ ; $Y \setminus X$ ; $X \Delta Y$ .

1.2.6. Пусть $P = \{ 2, 3, 5, 7, 11 \}$ и $Q = \{ 3, 5, 7, 11, 13 \}$ . Определить результаты следующих операций: $P \cap Q$ ; $P \cup Q$ ; $P \setminus Q$ ; $Q \setminus P$ ; $P \Delta Q$ .

1.2.7. Пусть $M = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ и $N = \{ 4, 5, 6, 7, 8 \}$ . Определить результаты следующих операций: $M \cap N$ ; $M \cup N$ ; $M \setminus N$ ; $N \setminus M$ ; $M \Delta N$ .

1.2.8. Определить множество $A$ решений уравнения $x^{2} - 36 = 0$ .

Решение. Уравнение $x^{2} - 36 = 0$ является квадратным, выразим $x^{2}$ :

$x^{2} = 36$ .

Чтобы найти $x$ , возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm \sqrt{36}$ ;

$x = \pm 6$ .

Следовательно, $A = \{ x \mid x^{2} - 36 = 0 \} = \{ -6, 6 \}$ .

Таким образом, множество $A$ решений уравнения $x^{2} - 36 = 0$ состоит из двух значений: $-6$ и $6$ .

Ответ: $A = \{ -6, 6 \}$ .

1.2.9. Определить множество $B$ решений уравнения $x^{2} - x - 12 = 0$ .

Решение. Решим уравнение $x^{2} - x - 12 = 0$ воспользовавшись формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант. Дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^{2} + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^{2} - 4ac$ .

Формулы для нахождения корней уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ .

В нашем случае: $a = 1$ , $b = -1$ , $c = -12$ .

Вычислим дискриминант: $D = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$ .

Поскольку дискриминант положителен ( $D > 0$ ), у уравнения есть два различных действительных корня:

$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 7}{2}$ ;

$x_{1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$ ;

$x_{2} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ .

Корни уравнения $x^{2} - x - 12 = 0$ равны $x = 4$ и $x = -3$ .

Таким образом, множество $B$ решений уравнения $x^{2} - x - 12 = 0$ равно $\{ -3, 4 \}$ .

$B = \{ x \mid x^{2} - x - 12 = 0 \} = \{ -3, 4 \}$ .

Ответ: $B = \{ -3, 4 \}$ .

1.2.10. Определить множество $C$ решений уравнения $x^{3} - x^{2} - 12x = 0$ .

Решение. Сначала вынесем общий множитель $x$ :

$x(x^{2} - x - 12) = 0$ .

Следовательно, $x = 0$ или $x^{2} - x - 12 = 0$ .

Данное уравнение $x^{2} - x - 12 = 0$ мы уже решили в предыдущем примере, оно имеет корни: $x = 4$ и $x = -3$ .

Теперь мы можем записать множество $C$ всех корней уравнения $x^{3} - x^{2} - 12x = 0$ :

$C = \{ x \mid x^{3} - x^{2} - 12x = 0 \} = \{ 0, -3, 4 \}$ .

Ответ: $C = \{ 0, -3, 4 \}$ .

1.2.11. Пусть $U = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$ , $A = \{ x \mid x^{3} - 3x^{2} + 2x = 0 \}$ , $B = \{ 1, 2, 9 \}$ , $C = \{ 2, 3, 6, 7 \}$ .

Найти: $A \cup B$ , $A \cap C$ , $\overline{A}$ , $A \setminus C$ и множество $P = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C$ .

Решение.

Находим множество $A$ .

Решим уравнение $x^{3} - 3x^{2} + 2x = 0$ :

$x(x^{2} - 3x + 2) = 0; \quad x = 0$ или $x^{2} - 3x + 2 = 0$ ;

$x = 0, \quad x = 1, \quad x = 2$ .

Таким образом, $A = \{ 0, 1, 2 \}$ .

Находим $A \cup B$ :

$A \cup B = \{ 0, 1, 2 \} \cup \{ 1, 2, 9 \} = \{ 0, 1, 2, 9 \}.$

Находим $A \cap C$ :

$A \cap C = \{ 0, 1, 2 \} \cap \{ 2, 3, 6, 7 \} = \{ 2 \}.$

Находим дополнение множества $A$ :

$\overline{A} = U \setminus A = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \setminus \{ 0, 1, 2 \} = \{ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}.$

Находим разность множеств $A \setminus C$ :

$A \setminus C = \{ 0, 1, 2 \} \setminus \{ 2, 3, 6, 7 \} = \{ 0, 1 \}.$

Находим множество $P$ :

$P = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

Выполняем операции:

$B \cap \overline{C} = \{ 1, 2, 9 \} \cap \{ 0, 1, 4, 5, 8, 9 \} = \{ 1, 9 \};$

$A \cap \overline{B} = \{ 0, 1, 2 \} \cap \{ 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} = \{ 0 \};$

$B \cap C = \{ 1, 2, 9 \} \cap \{ 2, 3, 6, 7 \} = \{ 2 \}.$

Теперь объединим результаты:

$P = \{ 1, 9 \} \cup \{ 0 \} \cup \{ 2 \} = \{ 0, 1, 2, 9 \}.$

1.2.12. Пусть $U = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$ , $A = \{ x \mid x^{3} - 4x^{2} + 3x = 0 \}$ , $B = \{ 1, 3, 7 \}$ , $C = \{ 1, 3, 8, 9 \}$ . Найти: $A \cup B$ , $A \cap C$ , $\overline{A}$ , $A \setminus C$ и множество $P = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C$ .

1.2.13. Пусть $U = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$ , $A = \{ x \mid x^{3} - 11x^{2} + 28x = 0 \}$ , $B = \{ 6, 9, 4 \}$ , $C = \{ 3, 2, 5, 7 \}$ . Найти: $A \cup B$ , $A \cap C$ , $\overline{A}$ , $A \setminus C$ и множество $P = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C$ .

1.2.14. Пусть $U = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$ , $A = \{ x \mid x^{3} - 11x^{2} + 18x = 0 \}$ , $B = \{ 7, 8, 6 \}$ , $C = \{ 9, 3, 4, 6 \}$ . Найти: $A \cup B$ , $A \cap C$ , $\overline{A}$ , $A \setminus C$ и множество $P = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C$ .

1.2.15. Определить множество $B$ решений неравенства $3x + 7 \geq 0$ .

Решение.

Выразим $3x$ :

$3x \geq -7.$

Теперь поделим обе стороны на 3. Поскольку мы делим на положительное число, направление неравенства не меняется:

$x \geq -\frac{7}{3}.$

Решения неравенства представляют собой все значения $x$ , которые больше или равны $-\frac{7}{3}$ . Мы можем записать это в виде полуинтервала $\left[ -\frac{7}{3}; +\infty \right)$ или в виде множества $B$ :

$B = \{ x \mid x \geq -\frac{7}{3} \} = \left[ -\frac{7}{3}; +\infty \right).$

Таким образом, множество $B$ решений неравенства $3x + 7 \geq 0$ является полуинтервалом $\left[ -\frac{7}{3}; +\infty \right)$ .

Ответ: $B = \{ x \mid 3x + 7 \geq 0 \} = \{ x \mid x \geq -\frac{7}{3} \} = \left[ -\frac{7}{3}; +\infty \right)$ .

1.2.16. Определить множество $D$ решений неравенства $3x - 7 \leq 0$ .

1.2.17. Определить множество $E$ решений неравенства $5y + 4 > 0$ .

1.2.18. Определить множество $F$ решений неравенства $2z - 10 < 0$ .

1.2.19. Даны множества $A = \{ x \mid 3 < x \leq 6 \}$ и $B = \{ x \mid 4 \leq x \leq 9 \}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \setminus B$ , $B \setminus A$ , $A \Delta B$ .

Решение.

Множества на числовой прямой ischanow.com — Множества на числовой прямой

Пересечение $A \cap B$ . Эта операция возвращает множество всех элементов, которые принадлежат и $A$ , и $B$ . Поскольку множества пересекаются только на интервале от 4 до 6, пересечение будет:

$A \cap B = \{ x \mid 4 \leq x \leq 6 \}$ .

Объединение $A \cup B$ . Эта операция возвращает множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A$ или $B$ . Объединение множеств:

$A \cup B = \{ x \mid 3 < x \leq 9 \}$ .

Разность $A \setminus B$ . Эта операция возвращает множество всех элементов, которые принадлежат множеству $A$ , но не принадлежат множеству $B$ . Разность множеств будет интервал от 3 до 4:

$A \setminus B = \{ x \mid 3 < x < 4 \}$ .

Разность $B \setminus A$ . Эта операция возвращает множество всех элементов, которые принадлежат множеству $B$ , но не принадлежат множеству $A$ . Разность множеств будет интервал от 6 до 9:

$B \setminus A = \{ x \mid 6 < x \leq 9 \}$ .

Симметрическая разность $A \Delta B$ . Эта операция возвращает множество всех элементов, которые принадлежат только одному из множеств $A$ или $B$ . Симметрическая разность будет объединением интервалов от 3 до 4 и от 6 до 9:

$A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{ x \mid 3 < x < 4 \} \cup \{ x \mid 6 < x \leq 9 \}$ .

1.2.20. Даны множества $A = \{ x \mid -3 < x \leq 2 \}$ ; $B = \{ x \mid 0 \leq x < 7 \}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \setminus B$ , $B \setminus A$ , $A \Delta B$ .

1.2.21. Даны множества $A = \{ x \mid -7 \leq x < -3 \}$ ; $B = \{ x \mid 3 < x \leq 8 \}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \setminus B$ , $B \setminus A$ , $A \Delta B$ .

1.2.22. Даны множества $A = \{ x \mid 1 \leq x < 5 \}$ ; $B = \{ x \mid 2 \leq x < 4 \}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \setminus B$ , $B \setminus A$ , $A \Delta B$ .

1.2.23. Даны множества $A = \{ x \mid x \leq 7 \}$ и $B = \{ x \mid x > -3 \}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \setminus B$ , $B \setminus A$ , $A \Delta B$ .

Решение.

Пересечение $A \cap B$ . Эта операция возвращает множество всех элементов, которые принадлежат и $A$ , и $B$ . Поскольку множества пересекаются на интервале от -3 до 7, пересечение будет:

$A \cap B = \{ x \mid -3 < x \leq 7 \}$ .

Объединение $A \cup B$ . Эта операция возвращает множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A$ или $B$ . Объединение множеств будет всеми действительными числами $(-\infty, \infty)$ :

$A \cup B = (-\infty, \infty)$ .

Разность $A \setminus B$ . Эта операция возвращает множество всех элементов, которые принадлежат множеству $A$ , но не принадлежат множеству $B$ . Разность множеств будут составлять числа меньше $-3$ , так как они принадлежат $A$ , но не принадлежат $B$ :

$A \setminus B = \{ x \mid x < -3 \}$ .

Разность $B \setminus A$ . Эта операция возвращает множество всех элементов, которые принадлежат множеству $B$ , но не принадлежат множеству $A$ . Разностью множеств будут числа больше 7, так как они принадлежат $B$ , но не принадлежат $A$ :

$B \setminus A = \{ x \mid x > 7 \}$ .

Симметрическая разность $A \Delta B$ . Эта операция возвращает множество всех элементов, которые принадлежат только одному из множеств $A$ или $B$ . Симметрическая разность будет объединением интервалов:

$A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{ x \mid x < -3 \} \cup \{ x \mid x > 7 \}$ .

1.2.24. Даны множества $A = \{ x \mid x < 6 \}$ ; $B = \{ x \mid x > 4 \}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \setminus B$ , $B \setminus A$ , $A \Delta B$ .

1.2.25. Даны множества $A = \{ x \mid x \leq 0 \}$ ; $B = \{ x \mid x > 3 \}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \setminus B$ , $B \setminus A$ , $A \Delta B$ .

1.2.26. Даны множества $A = \{ x \mid x > 4 \}$ ; $B = \{ x \mid x \geq 7 \}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \setminus B$ , $B \setminus A$ , $A \Delta B$ .

1.2.27. Найти $(A \cup B) \cap C$ и $(A \cup B) \setminus C$ , если $A = \{ x \mid -3 \leq x < 4 \}$ ; $B = \{ x \mid -1 < x \leq 2 \}$ ; $C = \{ x \mid 0 < x < 7 \}$ .

Решение.

Пересечение $(A \cup B) \cap C$ .

Для начала найдем объединение множеств $A$ и $B$ :

$A \cup B = \{ -3 \leq x < 4 \} \cup \{ -1 < x \leq 2 \} = \{ -3 \leq x < 4 \}.$

Объединение множеств $A$ и $B$ будет интервал от -3 до 4.

Теперь найдем пересечение полученного объединения с множеством $C$ :

$(A \cup B) \cap C = \{ -3 \leq x < 4 \} \cap \{ 0 < x < 7 \} = \{ 0 < x < 4 \}.$

Разность $(A \cup B) \setminus C$ .

Найдем разность объединения множеств $A$ и $B$ с множеством $C$ :

$(A \cup B) \setminus C = \{ -3 \leq x < 4 \} \setminus \{ 0 < x < 7 \} = \{ -3 \leq x < 0 \}.$

Таким образом, результаты операций $(A \cup B) \cap C$ и $(A \cup B) \setminus C$ для заданных множеств $A$ , $B$ и $C$ :

$(A \cup B) \cap C = \{ x \mid 0 < x < 4 \};$

$(A \cup B) \setminus C = \{ x \mid -3 \leq x < 0 \}.$

1.2.28. Найти $(A \cup B) \cap C$ и $(A \cup B) \setminus C$ , если $A = \{ x \mid -7 < x < 3 \}$ ; $B = \{ x \mid -6 < x < 7 \}$ ; $C = \{ x \mid 0 < x < 6 \}$ .

1.2.29. Найти $(A \cup B) \cap C$ и $(A \cup B) \setminus C$ , если $A = \{ x \mid -9 < x < 6 \}$ ; $B = \{ x \mid -7 \leq x \leq 3 \}$ ; $C = \{ x \mid -3 \leq x < 4 \}$ .

1.2.30. Найти $(A \cup B) \cap C$ и $(A \cup B) \setminus C$ , если $A = \{ x \mid -4 \leq x < 7 \}$ ; $B = \{ x \mid -3 \leq x < 4 \}$ ; $C = \{ x \mid 0 \leq x < 3 \}$ .

Нижняя и верхняя грани множества, максимум, минимум

Концепция ограниченности множества является важной частью теории множеств и используется в контексте порядка и сравнения элементов.

Нижняя грань множества — инфимум (infimum), верхняя грань — супремум (supremum).

Пусть $S$ — непустое подмножество в упорядоченном множестве $E$ .

Элемент $b \in E$ называется верхней границей для множества $S$ $(\sup S = b)$ , если для каждого $x \in S$ выполняется $x \leq b$ , то есть каждый элемент множества $S$ не превышает $b$ .

Множество $S$ называется ограниченным сверху, если оно имеет хотя бы одну верхнюю границу.

Элемент $a \in E$ называется нижней границей для множества $S$ $(\inf S = a)$ , если для каждого $x \in S$ выполняется $x \geq a$ , то есть каждый элемент множества $S$ не меньше $a$ .

Множество $S$ называется ограниченным снизу, если оно имеет хотя бы одну нижнюю границу.

Максимум — это особый случай верхней грани в контексте множества чисел или элементов упорядоченного множества.

Пусть $S$ — непустое подмножество в упорядоченном множестве $E$ . Элемент $n \in E$ называется максимумом множества $S$ $(\max S = n)$ , если $n$ является верхней гранью для $S$ и принадлежит самому множеству $S$ .

Иными словами, максимум — это самый большой элемент множества.

Отличие максимума от верхней грани заключается в том, что максимум обязательно принадлежит множеству, тогда как верхняя грань может быть элементом, не принадлежащим множеству. Если максимум существует, он является единственным, но верхняя грань может быть не единственной, так как существует несколько элементов, удовлетворяющих свойству верхней грани.

Минимум — это особый случай нижней грани в контексте множества чисел или элементов упорядоченного множества.

Пусть $S$ — непустое подмножество в упорядоченном множестве $E$ . Элемент $m \in E$ называется минимумом множества $S$ $(\min S = m)$ , если $m$ является нижней гранью для $S$ и принадлежит самому множеству $S$ .

Иными словами, минимум — это самый маленький элемент множества.

Отличие минимума от нижней грани заключается в том, что минимум обязательно принадлежит множеству, тогда как нижняя грань может быть элементом, не принадлежащим множеству. Если минимум существует, он является единственным, но нижняя грань может быть не единственной, так как существует несколько элементов, удовлетворяющих свойству нижней грани.

Множество называется ограниченным, если оно одновременно ограничено и сверху, и снизу.

Практический материал

1.2.31. Пусть $R = \{ -2, -1, 0, 1, 2 \}$ , т. е. множество целых чисел от -2 до 2 включительно. Найдите максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $R$ .

Решение.

Максимальным элементом множества $R$ является 2, так как это наибольшее значение во множестве, $\max R = 2$ .
Минимумом множества $R$ является -2, так как это наименьшее значение во множестве, $\min R = -2$ .
Верхняя грань множества $R$ равна 2, так как это наибольший элемент во множестве, $\sup R = 2$ .
Нижняя грань множества $R$ равна -2, так как это наименьший элемент во множестве, $\inf R = -2$ .

Ответ: $\max R = 2$ ; $\min R = -2$ ; $\sup R = 2$ ; $\inf R = -2$ .

1.2.32. Для множества целых чисел $Z = \{ \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \}$ найдите максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани.

Решение.

Максимум. Во множестве целых чисел нет максимального элемента, так как оно не ограничено сверху, $\max Z$ нет.

Минимум. Во множестве целых чисел также нет минимального элемента, так как оно не ограничено снизу, $\min Z$ нет.

Верхняя грань. Поскольку множество целых чисел не ограничено сверху, верхняя грань не существует, и она равна плюс бесконечности $( +\infty)$ , $\sup Z$ не существует ( $\sup Z = +\infty$ ).

Нижняя грань. Поскольку множество целых чисел не ограничено снизу, нижняя грань также не существует, и она равна минус бесконечности $( -\infty)$ , $\inf Z$ не существует ( $\inf Z = -\infty$ ).

Ответ: $\max Z$ нет; $\min Z$ нет; $\sup Z$ не существует ( $\sup Z = +\infty$ ); $\inf Z$ не существует

( $\inf Z = -\infty$ ).

1.2.33. Дано $P = \{ -5, -4, -3, \ldots \}$ множество отрицательных целых чисел. Найдите максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $P$ .

1.2.34. Дано $Q = \{ \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \ldots \}$ множество положительных дробей, которые меньше 1. Найдите максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $Q$ .

1.2.35. Дано $N = \{ 1, 2, 3, \ldots \}$ множество натуральных чисел. Найдите максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $N$ .

1.2.36. Найдите максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $C = \{ x \mid 4 < x \leq 7 \}$ .

Решение.

Максимум, или наибольший элемент, это наибольшее значение во множестве. Самое большое значение 7 принадлежит множеству $C$ , следовательно 7 является максимумом для множества $C$ , т. е. $\max C = 7$ .

Минимум, или наименьший элемент, это наименьшее значение во множестве. Для множества $C$ самое маленькое значение — это 4, но так как оно не принадлежит множеству ( $4 \notin C$ ), то минимума вомножестве $C$ нет, т. е. $\min C$ — не существует.

Верхняя грань множества (супремум) — это наименьшая из всех верхних границ. Для множества $C$ все числа меньше 7, поэтому верхняя грань множества $C$ равна 7, т. е. $\sup C = 7$ .

Нижняя грань множества (инфимум) — это наибольшая из всех нижних границ (самое большое число, которое все еще меньше всех элементов множества $C$ ). Так как все элементы множества $C$ больше 4, то нижняя грань множества $C$ равна 4, т. е. $\inf C = 4$ .

Ответ: $\max C = 7$ , $\min C$ не существует, $\sup C = 7$ , $\inf C = 4$ .

1.2.37. Дано множество $B = \{ x \mid -3 < x \leq 0 \}$ . Найдите максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $B$ .

1.2.38. Дано множество $C = \{ x \mid -1 \leq x < 4 \}$ . Найдите максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $C$ .

1.2.39. Дано множество $D = \{ x \mid 1 < x < 6 \}$ . Найдите максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $D$ .

1.2.40. Найти максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $A = \{ x \mid -\infty < x < 8 \}$ .

Решение.

Максимум. Самое большое значение 8 не входит во множество (множество состоит из чисел, строго меньших 8), следовательно максимума во множестве $A$ нет, т. е. $\max A$ не существует.

Минимум. В данном случае нет минимального элемента, так как множество $A$ содержит все числа, которые меньше 8, но оно не ограничено снизу. Таким образом, минимума нет, $\min A$ не существует.

Верхняя грань. Верхняя грань множества $A$ равна 8, так как 8 является наименьшей из всех верхних границ, и любая другая граница будет больше, т. е. $\sup A = 8$ .

Нижняя грань. Множество $A$ не имеет нижней границы, нижняя грань равна минус бесконечности $( -\infty)$ , т. е. $\inf A$ не существует ( $\inf A = -\infty$ ).

Ответ: $\max A$ — не существует; $\min A$ не существует; $\sup A = 8$ ; $\inf A$ не существует ( $\inf A = -\infty$ ).

1.2.41. Найти максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $B = \{ x \mid -\infty < x \leq 6 \}$ .

1.2.42. Найти максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $C = \{ x \mid 7 < x < \infty \}$ .

1.2.43. Найти максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $D = \{ x \mid 9 \leq x < \infty \}$ .

1.2.44. Найти максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $C = A \cap B$ , если $A = \{ x \mid x > -4 \}$ ; $B = \{ x \mid -7 < x \leq 5 \}$ .

Решение.

Определим множество $C$ , которое является пересечением множеств $A$ и $B$ : $C = A \cap B = \{ x \mid -4 < x \leq 5 \}$

Максимум множества $C$ будет равен 5, так как это наибольшее значение, которое принадлежит множеству $C$ , т. е. $\max C = 5$ .

Минимума во множестве $C$ нет, так как самое маленькое значение -4 не входит во множество (множество состоит из чисел, строго больших -4), т. е. $\min C$ — нет.

Верхняя грань множества $C$ равна 5, так как это наибольший элемент во множестве, т. е. $\sup C = 5$ .

Нижняя грань множества $C$ равна -4, так как -4 является наибольшей из всех нижних границ, и любая другая граница будет меньше, т. е. $\inf C = -4$ .

Ответ: $\max C = 5$ ; $\min C$ — нет; $\sup C = 5$ ; $\inf C = -4$ .

1.2.45. Найти максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $C = A \cap B$ , если $A = \{ x \mid x > -3 \}$ ; $B = \{ x \mid -6 < x < 4 \}$ .

1.2.46. Найти максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $C = A \setminus B$ , если $A = \{ x \mid 2 < x \leq 7 \}$ ; $B = \{ x \mid 4 \leq x < 10 \}$ .

1.2.47. Найти максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $C = A \cup B$ , если $A = \{ x \mid x \leq 0 \}$ ; $B = \{ x \mid -11 < x < 7 \}$ .

Задания для самостоятельной работы

1.6.1. Пусть $X = \{2, 3, 5, 7, 8\}$ и $Y = \{1, 4, 6, 9, 10\}$ . Определить результаты следующих операций: $X \cap Y$ ; $X \cup Y$ ; $X \setminus Y$ ; $Y \setminus X$ ; $X \Delta Y$ .

1.6.2. Пусть $P = \{3, 5, 6, 7, 9\}$ и $Q = \{2, 4, 6, 7, 9\}$ . Определить результаты следующих операций: $P \cap Q$ ; $P \cup Q$ ; $P \setminus Q$ ; $Q \setminus P$ ; $P \Delta Q$ .

1.6.3. Пусть $M = \{3, 7, 9, 13, 17\}$ и $N = \{3, 4, 5, 6, 8\}$ . Определить результаты следующих операций: $M \cap N$ ; $M \cup N$ ; $M \setminus N$ ; $N \setminus M$ ; $M \Delta N$ .

1.6.4. Пусть $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ , $A = \{x \mid x^{3} - 5x^{2} + 6x = 0\}$ , $B = \{1, 3, 7\}$ , $C = \{1, 3, 8, 9\}$ . Найти: $A \cup B$ , $A \cap C$ , $\overline{A}$ , $A \backslash C$ и множество $P = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

1.6.5. Пусть $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ , $A = \{x \mid x^{3} - 5x^{2} + 4x = 0\}$ , $B = \{6, 9, 4\}$ , $C = \{3, 2, 5, 7\}$ . Найти: $A \cup B$ , $A \cap C$ , $\overline{A}$ , $A \backslash C$ и множество $P = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

1.6.6. Пусть $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ , $A = \{x \mid x^{3} - 7x^{2} + 12x = 0\}$ , $B = \{7, 8, 6\}$ , $C = \{9, 3, 4, 6\}$ . Найти: $A \cup B$ , $A \cap C$ , $\overline{A}$ , $A \backslash C$ и множество $P = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

1.6.7. Определить множество $D$ решений неравенства $4x - 9 \leq 0$ .

1.6.8. Определить множество $E$ решений неравенства $3y + 7 > 0$ .

1.6.9. Определить множество $F$ решений неравенства $7z - 15 < 0$ .

1.6.10. Даны множества $A = \{x \mid -4 < x \leq 3\}$ ; $B = \{x \mid 1 \leq x < 9\}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \backslash B$ , $B \backslash A$ , $A \Delta B$ .

1.6.11. Даны множества $A = \{x \mid -3 \leq x < -4\}$ ; $B = \{x \mid 2 < x \leq 9\}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \backslash B$ , $B \backslash A$ , $A \Delta B$ .

1.6.12. Даны множества $A = \{x \mid 3 \leq x < 13\}$ ; $B = \{x \mid 8 \leq x < 10\}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \backslash B$ , $B \backslash A$ , $A \Delta B$ .

1.6.13. Даны множества $A = \{x \mid x < 7\}$ ; $B = \{x \mid x > 5\}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \backslash B$ , $B \backslash A$ , $A \Delta B$ .

1.6.14. Даны множества $A = \{x \mid x \leq 1\}$ ; $B = \{x \mid x > 4\}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \backslash B$ , $B \backslash A$ , $A \Delta B$ .

1.6.15. Даны множества $A = \{x \mid x > 5\}$ ; $B = \{x \mid x \geq 8\}$ . Определить результаты операций $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \backslash B$ , $B \backslash A$ , $A \Delta B$ .

1.6.16. Найти $(A \cup B) \cap C$ и $(A \cup B) \backslash C$ , если $A = \{x \mid -6 < x < 4\}$ ; $B = \{x \mid -5 < x < 8\}$ ; $C = \{x \mid 1 < x < 7\}$ .

1.6.17. Найти $(A \cup B) \cap C$ и $(A \cup B) \backslash C$ , если $A = \{x \mid -8 < x < 7\}$ ; $B = \{x \mid -6 \leq x \leq 4\}$ ; $C = \{x \mid -2 \leq x < 3\}$ .

1.6.18. Найти $(A \cup B) \cap C$ и $(A \cup B) \backslash C$ , если $A = \{x \mid -3 \leq x < 8\}$ ; $B = \{x \mid -2 \leq x < 5\}$ ; $C = \{x \mid 1 \leq x < 4\}$ .

1.6.19. Дано множество $B = \{x \mid -2 < x \leq 1\}$ . Найдите максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $B$ .

1.6.20. Дано множество $C = \{x \mid 0 \leq x < 5\}$ . Найдите максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $C$ .

1.6.21. Дано множество $D = \{x \mid 2 < x < 7\}$ . Найдите максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $D$ .

1.6.22. Найти максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $B = \{x \mid -\infty < x \leq 7\}$ .

1.6.23. Найти максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $C = \{x \mid 9 < x < \infty\}$ .

1.6.24. Найти максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $D = \{x \mid 13 \leq x < \infty\}$ .

1.6.25. Найти максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $C = A \cap B$ , если $A = \{x \mid x > -2\}$ ; $B = \{x \mid -5 < x < 5\}$ .

1.6.26. Найти максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $C = A \backslash B$ , если $A = \{x \mid 3 < x \leq 8\}$ ; $B = \{x \mid 5 \leq x < 11\}$ .

1.6.27. Найти максимум, минимум, верхнюю и нижнюю грани для множества $C = A \cup B$ , если $A = \{x \mid x \leq 1\}$ ; $B = \{x \mid -10 < x < 8\}$ .