Основные определения теории множеств

Первоначальные идеи о множествах встречаются уже в работах древних математиков, таких как Пифагор, Евклид и Архимед. Однако, формализация и развитие теории множеств как самостоятельной области математики произошло в XIX веке.

Считается, что основоположником теории множеств является немецкий математик Георг Кантор. Он ввел основные понятия и аксиомы теории множеств и разработал ее математические основы в своих работах в конце XIX — начале XX века. В частности, Кантор ввел понятия мощности множества, бесконечности и различных типов бесконечностей.

Таким образом, Георг Кантор считается первым, кто дал формальное и математически строгое определение множеству и разработал теорию множеств как отдельную область математики.

Георг Кантор (1845–1918): «Множество есть многое, мыслимое нами как единое».

Множество – одно из фундаментальных понятий математики.

Множество — это совокупность объектов любой природы, которые объединены на основании какого-то одного общего свойства, признака, или их совокупности.

Входящие во множество объекты, называются элементами множества.

Примеры:

множество студентов учебной группы;
множество прямых, проходящих через данную точку;
множество решений системы уравнений.

Примеры математических множеств

Множество натуральных чисел: $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}.$
Множество целых чисел: $\mathbb{Z}=\{…,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}.$
Множество рациональных чисел: $\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}.$
Множество вещественных чисел: $\mathbb{R}$ ="все действительные числа".
Множество комплексных чисел: $C = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{R}, i^2 = -1\}.$
Множество четных натуральных чисел: $2\mathbb{N} = \{2, 4, 6, 8, 10, \ldots\}.$
Множество квадратов натуральных чисел: $\mathbb{N}^2 = \{1, 4, 9, 16, 25, \ldots\}.$
Множество простых чисел: $P = \{2, 3, 5, 7, 11, \ldots\}.$
Множество дробей с числителем и знаменателем от 1 до 10: $D = \left\{\frac{a}{b} \mid a, b \in {1, 2, \ldots, 10}\right\}.$

Множества принято обозначать большими латинскими или греческими буквами, элементы множества – маленькими буквами.
Запись $a \in K$ означает, что элемент $a$ принадлежит множеству $K$ .
Запись $\gamma \notin K$ , означает, что элемент $\gamma$ не принадлежит множеству $K$ .

Основные определения теории множеств — Множество и его элементы

Способы задания множества

Перечисление всех элементов множества.

Определим множество C перечислением всех его элементов: C={3,7,9}. Данная запись позволяет нам описать множество C, которое состоит из трех элементов: 3, 7, 9.

Обратите на форму записи, все элементы множества перечисляются в фигурных скобках, через запятую.

Данная форма записи применима для задания конечных множеств, в остальных случаях удобно описывать множества с помощью правила, которое позволит определить принадлежность элемента к конкретному множеству.

Образующее правило (характеристическое свойство).

Описание свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества. Это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием. Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества.

Соответствующая запись имеет вид: $M = \{x \mid R(x)\}$ (множество М состоит из таких элементов x, для которых образующее множество правило R (x) истинно).

Пример. Запись вида $M = \{x \mid x \geq 3\}$ означает, что множество состоит из элементов, принадлежащих числовому промежутку $x \in [3, +\infty)$ .

Порядок элементов во множестве несущественен. Множества {k, t, r} и {t, k, r} одинаковы.

Замечание. Элемент $a$ и множество $\{a\}$ – это не одно и то же, они представляют разные математические концепции. Первое – это объект, обозначенный $a$ , второе – это множество, состоящее из единственного элемента $a$ . Следовательно, верное утверждение – "элемент $a$ принадлежит множеству $\{a\}$ ". С другой стороны, утверждение "множество $\{a\}$ принадлежит элементу $a$ " является ложным.

Количество элементов во множестве называется мощностью или кардинальным числом. Например, мощность множества $K = \{d, m, c\}$ равна трем, записывается следующим образом: $|K| = 3$ .

Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается $\varnothing$ . Мощность пустого множества $\varnothing$ равна 0: $|\varnothing| = 0$ . Введение понятия пустого множества обосновано. Допустим, у нас есть множество, которое изначально содержало элементы. В определенных условиях это множество может оказаться пустым, то есть лишенным элементов. Однако важно отметить, что отсутствие элементов во множестве не означает отрицание самого множества как математического объекта. Пустое множество сохраняет свою сущность, определяемую основными правилами формирования множеств, даже если временно лишено конкретных элементов.

Введение понятия пустого множества является важным шагом в теории множеств.

Понятие пустого множества важно по нескольким причинам.

Универсальность. Пустое множество является подмножеством любого множества. Это универсальное свойство делает пустое множество фундаментальным в теории множеств.
Определение через правило. Пустое множество можно определить через отсутствие элементов, удовлетворяющих определенному правилу или свойству. Например, множество всех синих роз в комнате, где нет синих роз, будет пустым, но само правило формирования множества (наличие синих роз) остается в силе.
Отличие от «ничего». Важно понимать, что пустое множество не равно «ничему» или «отсутствию множества». Это скорее множество, в котором просто нет элементов, но само по себе оно существует как объект в теории множеств.
Основа для определений и доказательств. Пустое множество используется в математике для формулировки определений, теорем и доказательств. Например, пересечение любого количества множеств можно определить как множество, содержащее только те элементы, которые принадлежат всем этим множествам. Если множества не имеют общих элементов, их пересечение будет пустым множеством.

Таким образом, пустое множество — это не просто абстракция или математический курьёз, а важный и необходимый элемент структуры теории множеств.

Пример. Рассмотрим пример образования пустого множества на основе изменения состава. Предположим, у нас есть множество работников в компании, имеющих доступ к определенному проекту. В процессе времени некоторые сотрудники могут получить повышение и переместиться на другие проекты, а другие могут покинуть компанию. Изначально это множество может быть наполнено разными работниками, имеющими доступ к проекту. С течением времени, в результате повышений, перемещений и увольнений, множество может стать пустым. Тем не менее, само понятие множества работников с доступом к проекту сохраняет свой смысл и структуру, и в будущем новые сотрудники могут быть добавлены к этому множеству, если им будет предоставлен доступ к проекту.

Замечание. Мощность множества, элементом которого является пустое множество, равна единице: если $L=\{\varnothing\}$ , тогда $|L| =|\{\varnothing\}|= 1$ .

Множества равномощны, если их мощности равны, т. е. множества содержат одинаковое количество элементов. Например, множества $F = \{1, 2, 3\}$ и $L = \{a, b, c\}$ равномощны.

Упражнение. Равномощны ли множества F и L: F={{клавиатура, монитор, ноутбук}, {книга, тетрадь}, {авторучка, карандаш} }; L={a, b, c}.

Если два множества равномощны, это не означает, что множества равны. Равными множества будут только в том случае, если они будут содержать одинаковые элементы.

Определение. Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов.

Пример. $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ — конечное множество.

Множество называется бесконечным, если оно содержит бесконечное количество элементов.

Пример. $B = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$ — бесконечное множество натуральных чисел.

Множество называется счетным, если все его элементы можно пронумеровать натуральными числами (каждому элементу поставить в соответствие натуральное число; элементы можно упорядочить в последовательность, которая соответствует натуральным числам).

Пример. Множество всех целых чисел $\mathbb{Z}$ — счетное, потому что его элементы можно упорядочить в последовательность: $0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \ldots$ .

Множество называется несчетным, если оно не является счетным.

Пример. Множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$ — несчетное. Невозможно упорядочить все действительные числа в последовательность, соответствующую натуральным числам, потому что мощность множества действительных чисел больше мощности множества натуральных чисел.

Множество $A$ является подмножеством множества $B$ : $A \subseteq B$ , если каждый элемент множества $A$ ( $a_{i} \in A$ ), также принадлежит и множеству $B$ , ( $a_{i} \in B$ ). Если во множестве $B$ найдется хотя бы один элемент $x_{i}$ , который не принадлежит $A$ , ( $x_{i} \in B$ и $x_{i} \notin A$ ), то множество $A$ называется собственным подмножеством множества $B$ , $A \subset B$ . Иными словами, если число элементов подмножества $A$ меньше числа элементов множества $B$ , то $A$ есть собственное подмножество $B$ .

Свойства множеств

Пустое множество ${\varnothing}$ всегда является подмножеством любого другого множества.
Любое множество $X$ является подмножеством самого себя: $X \subseteq X$ .
Множества $A$ и $B$ равны, если являются подмножествами друг друга: $A \subseteq B$ и $B \subseteq A$ .
Если множество $X$ есть подмножество некоторого множества $Y$ , а множество $Y$ есть подмножество некоторого множества $Z$ , то множество $X$ обязательно является подмножеством множества $Z$ : если $X \subseteq Y$ , $Y \subseteq Z$ , то $X \subseteq Z$ .

Для каждого множества $M$ можно построить новое множество, элементами которого будут являться все подмножества $M$ и только они. Тогда множество $M$ называют универсальным множеством (универсумом), а множество всех его подмножеств — булеаном. Универсальное множество будем обозначать символом $U$ .

Множество всех подмножеств некоторого множества $M$ , включая пустое подмножество и само множество $M$ , называется булеаном множества и обозначается $B(M)$ .

Пример. Пусть дано универсальное множество $U = \{3, 7, 9\}$ , тогда булеан будет иметь вид: $B(U) = \{\{\varnothing\}, \{3\}, \{7\}, \{9\}, \{3,7\}, \{3,9\}, \{7,9\}, \{3, 7, 9\}\}$ .
Если мощность универсума равна $m$ , то мощность его булеана рассчитывается по формуле $|B(U)| = 2^{m}$ .
В нашем примере мощность булеана на основании множества из трех разных элементов будет равна 8.