Вариант-1 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3} - 20x^{2} + 84x = 0 \},$

$B = \{ 3, 5, 17, 18, 19 \}, \quad C = \{ 0, 2, 10, 12, 13 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$

Проверить справедливость равенства $B \times (C \cup A) = (B \times C) \cup (B \times (A \setminus C))$ для множеств: $A = \{1, 4\}$ , $B = \{2, 4\}$ , $C = \{1, 2\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии,

$X = \{n, j, t, m, z\}; \quad Y = \{1, 2, 3\};$

$G = \{(n, 3), (j, 1), (t, 3), (m, 1), (z, 2)\}; \quad A = \{j, m\}; \quad B = \{3, 1\}.$

Дано множество чисел. Исследовать отношение «быть больше или равным» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( x \rightarrow \overline{y} \right) \land (z \oplus x) \right) \vee \left( \overline{x} \land (y \leftrightarrow z) \right).$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \downarrow q) \rightarrow \left( r \mid s \right)$ и $\left( \overline{p} \land \overline{q} \right) \rightarrow \left( \overline{r} \vee \overline{s} \right).$

Приведите выражение $\left( x \leftrightarrow \overline{y} \right) \land \left( \overline{z \vee y} \right) \oplus x$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

В команде по разработке игр 7 программистов и 5 дизайнеров. Для нового проекта нужно выбрать 4 сотрудника, каждый из которых займёт конкретную позицию: главный программист, ведущий дизайнер, разработчик интерфейса и 3D-моделлер. Сколько существует способов распределения сотрудников, если:

а) все выбранные — программисты;

б) два программиста и два дизайнера;

в) один программист и три дизайнера;

г) все выбранные — дизайнеры;

д) все выбранные одной специальности.