Вариант-10 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3} - 24x^{2} + 140x = 0 \},$

$B = \{ 3, 10, 15, 16, 18 \}, \quad C = \{ 1, 3, 7 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$

Проверить справедливость равенства $A \times B = (A \times (B \cap C)) \cup (A \times (B \setminus C))$ для множеств: $A = \{2, 4\}$ , $B = \{4, 6\}$ , $C = \{2, 6\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии.

$X = \{y, d, b, s, j\}; \quad Y = \{1, 2, 3, 4\};$

$G = \{(y, 1), (d, 4), (b, 3), (s, 3), (j, 1)\}; \quad A = \{j, s\}; \quad B = \{2, 1\}.$

Дано множество городов в стране. Исследовать отношение «быть соединённым прямой дорогой» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( x \land \overline{y} \right) \rightarrow \left( z \oplus \overline{x} \right) \right) \vee \left( \left( y \leftrightarrow \overline{z} \right) \land \left( \overline{x} \rightarrow z \right) \right).$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$\left( p \rightarrow (q \land r) \right) \vee \left( s \rightarrow (t \vee u) \right)$ и $\left( \overline{p} \vee (q \land r) \right) \vee \left( \overline{s} \vee (t \vee u) \right).$

Приведите выражение $\left( x \land (y \rightarrow z) \right) \leftrightarrow \left( \overline{y} \vee (z \downarrow x) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

В университете 10 преподавателей математики и 5 физики. Для конференции нужно выбрать 4 доклада: теоретическая математика, прикладная математика, теоретическая физика и экспериментальная физика. Сколько существует способов распределения докладов, если:

а) все доклады по математике;

б) три доклада по математике и один по физике;

в) один доклад по математике и три по физике;

г) все доклады по физике;

д) все доклады одной дисциплины.