- Даны множества
$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$
$A = \{ x \mid x^{3} — 23x^{2} + 90x = 0 \},$
$B = \{ 1, 4, 6, 7 \}, \quad C = \{ 1, 4, 12, 16, 17 \}.$
а) Найти множества:
$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$
$P = (B \cup C) \setminus A;$
$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$
б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$
- Проверить справедливость равенства $B \times (A \cup C) = (B \times A) \cup (B \times (C \setminus A))$ для множеств: $A = \{1, 3\}$, $B = \{3, 5\}$, $C = \{1, 5\}$.
- Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии.
$X = \{k, g, y, u\}; \quad Y = \{1, 2, 3\};$
$G = \{(k, 1), (g, 2), (y, 3), (u, 3)\}; \quad A = \{y, k\}; \quad B = \{1, 2\}.$
- Дано множество уравнений. Исследовать отношение «иметь одинаковые корни» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
- Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:
$\left( \overline{x} \land \left( y \rightarrow \overline{z} \right) \right) \oplus \left( \left( \overline{y} \vee x \right) \land (z \leftrightarrow x) \right).$
- С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул
$\overline{(p \land q)} \rightarrow (r \oplus s)$ и $\left( p \vee \overline{q} \right) \vee \left( \left( \overline{r} \land s \right) \vee \left( r \land \overline{s} \right) \right).$
- Приведите выражение $\left( \overline{x \vee (y \land z)} \right) \land \left( x \rightarrow (y \oplus z) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.
- На конкурсе дизайнеров интерьера 12 профессионалов и 8 студентов. Нужно выбрать 4 проекта для номинаций: лучший дизайн квартиры, лучший дизайн офиса, лучший дизайн общественного пространства и инновационный дизайн. Сколько существует способов распределения номинаций, если:
а) все проекты от профессионалов;
б) три проекта от профессионалов и один от студента;
в) один проект от профессионала и три от студентов;
г) все проекты от студентов;
д) все проекты одного типа участника.
- Найти $x$ и $y$ из данной пропорции
$$
C_{x + 2}^{y + 3} : C_{x + 1}^{y + 2} : C_{x}^{y + 1} = 30 : 21 : 14
$$