Вариант-13 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3} - 17x^{2} + 30x = 0 \},$

$B = \{ 1, 5, 9, 10, 17 \}, \quad C = \{ 0, 6, 12, 15, 17, 18 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$

Проверить справедливость равенства $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ для множеств: $A = \{5, 7\}$ , $B = \{6, 7\}$ , $C = \{5, 6\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии.

$X = \{s, m, e, d, g\}; \quad Y = \{1, 2, 3, 4\};$

$G = \{(s, 4), (m, 4), (e, 2), (d, 2), (g, 3)\}; \quad A = \{d, g\}; \quad B = \{3, 1\}.$

Дано множество веб-сайтов. Исследовать отношение «быть связанным гиперссылкой» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \overline{x} \vee (y \land z) \right) \leftrightarrow \left( \left( x \oplus \overline{y} \right) \land \left( \overline{z} \rightarrow x \right) \right).$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$\left( p \land (q \rightarrow r) \right) \oplus \left( \overline{s} \land (t \vee u) \right)$ и $((p \land (\overline{q} \vee r)) \oplus (\overline{s} \land (t \vee u))).$

Приведите выражение $\left( \overline{x \leftrightarrow (y \vee z)} \right) \downarrow \left( x \land \overline{y} \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

В медицинском центре работают 6 врачей и 4 медсестры. Необходимо сформировать бригаду из 4 человек для дежурства: главный врач, хирург, терапевт и медсестра. Сколько существует способов сформировать бригаду, если:

а) все участники — врачи;

б) три врача и одна медсестра;

в) один врач и три медсестры;

г) все участники — медсестры;

д) все участники одной специальности.