Вариант-15 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3} - 22x^{2} + 96x = 0 \},$

$B = \{ 6, 8, 15, 19 \}, \quad C = \{ 2, 7, 14 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$

Проверить справедливость равенства $C \times A = (C \times (A \setminus B)) \cup (C \times (A \cap B))$ для множеств: $A = \{2, 7\}$ , $B = \{3, 7\}$ , $C = \{2, 3\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии.

$X = \{x, m, i, w\}; \quad Y = \{1, 2, 3, 4\};$

$G = \{(x, 1), (m, 1), (i, 4), (w, 2)\}; \quad A = \{m, w\}; \quad B = \{1, 2\}.$

Дано множество точек на прямой. Исследовать отношение «быть на одинаковом расстоянии от заданной точки» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\overline{\left( \left( x \land \overline{z} \right) \vee \left( y \rightarrow \overline{x} \right) \right)} \land \left( \left( \overline{y} \oplus z \right) \rightarrow (x \leftrightarrow y) \right).$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \oplus q) \downarrow \left( r \mid s \right)$ и $\left( \overline{p} \land \overline{q} \right) \land \left( \overline{r} \vee \overline{s} \right).$

Приведите выражение $\left( \overline{x \land y} \right) \land \left( z \leftrightarrow \left( x \vee \overline{y} \right) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.