Вариант-16 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3} - 9x^{2} + 14x = 0 \},$

$B = \{ 2, 3, 9 \}, \quad C = \{ 1, 3, 5, 11, 13, 17 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$

Проверить справедливость равенства $B \times (A \Delta C) = (B \times (A \cap C)) \cup (B \times (A \setminus C))$ для множеств: $A = \{4, 8\}$ , $B = \{5, 8\}$ , $C = \{4, 5\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии.

$X = \{t, k, j, n\}; \quad Y = \{1, 2, 3\};$

$G = \{(t, 2), (k, 1), (j, 1), (n, 2)\}; \quad A = \{t, k\}; \quad B = \{1, 3\}.$

Дано множество деревьев в лесу. Исследовать отношение «быть того же вида» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( x \oplus \overline{y} \right) \vee \left( \overline{z} \land y \right) \right) \land \left( \left( x \rightarrow \overline{z} \right) \leftrightarrow \left( \overline{y} \oplus z \right) \right).$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \rightarrow q) | (r \oplus s)$ и $\overline{\left( \overline{p} \vee q \right)} \vee \left( \left( \overline{r} \land s \right) \vee \left( r \land \overline{s} \right) \right).$

Приведите выражение $\left( x \rightarrow \overline{y} \right) \oplus \left( \overline{z \land y} \right) \vee x$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.