Вариант-18 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3}- 17x^{2} + 52x = 0 \},$

$B = \{ 1, 2, 11, 15 \}, \quad C = \{ 7, 8, 10, 18 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$

Проверить справедливость равенства $C \times (B \Delta A) = (C \times (B \setminus A)) \cup (C \times (A \setminus B))$ для множеств: $A = \{3, 7\}$ , $B = \{4, 7\}$ , $C = \{3, 4\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{e, m, s\}$ ; $Y = \{1, 2, 3, 4\}$ ; $G = \{(e, 4), (m, 3), (s, 4), (m, 1)\}$ ; $A = \{s, e\}$ ; $B = \{3, 1\}$ .
Дано множество животных в зоопарке. Исследовать отношение «быть того же веса» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( x \vee \overline{y} \right) \land \left( \overline{z} \rightarrow y \right) \right) \leftrightarrow \left( \left( y \oplus \overline{x} \right) \vee \left( z \land \overline{y} \right) \right)$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \oplus q)|(r \land s)$ и $\overline{\left( \left( \overline{p} \land q \right) \vee \left( p \land \overline{q} \right) \right)} \vee \overline{(r \land s)}$ .

Приведите выражение $\left( x \land \overline{y} \right) \downarrow \left( \overline{z} \oplus (y \land x) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

В детском саду 9 воспитателей и 4 помощника. Нужно выбрать 3 человека для специального проекта. Сколько способов выбора, если: а) все выбранные — воспитатели; б) два воспитателя и один помощник; в) хотя бы один помощник; г) ровно 2 помощника.
Найти $x$ и $y$ из данной пропорции

$C_{x + 3}^{y + 2}:C_{x + 2}^{y + 1}:C_{x + 1}^{y} = 15:9:5$