Вариант-19 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3}- 12x^{2} + 11x = 0 \},$

$B = \{ 0, 3, 7, 8, 9, 11 \}, \quad C = \{ 0, 2, 6, 10, 11 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$

Проверить справедливость равенства $A \times (B \Delta C) = (A \times (B \setminus C)) \cup (A \times (C \setminus B))$ для множеств: $A = \{6, 8\}$ , $B = \{7, 8\}$ , $C = \{6, 7\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{j, v, s\}$ ; $Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ; $G = \{(j, 2), (v, 4), (s, 5)\}$ ; $A = \{v, j\}$ ; $B = \{1, 3\}$ .
Дано множество автомобилей на парковке. Исследовать отношение «быть того же цвета» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( x \vee \overline{y} \right) \land (z \rightarrow x) \right) \oplus \left( \left( \overline{x} \land y \right) \leftrightarrow \left( \overline{z} \vee x \right) \right)$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \rightarrow q) \downarrow (r | s)$ и $\overline{\left( \overline{p} \vee q \right)} \land \left( \overline{r} \vee \overline{s} \right)$ .

Приведите выражение $\left( \overline{x \vee z} \right) \leftrightarrow \left( y \rightarrow \left( \overline{x} \land z \right) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

В офисе работают 10 менеджеров и 6 аналитиков. Нужно выбрать 5 сотрудников для участия в конференции. Сколько способов выбора, если: а) все выбранные — менеджеры; б) три менеджера и два аналитика; в) хотя бы один аналитик; г) ровно 4 менеджера.
Найти $x$ и $y$ из данной пропорции

$C_{x + 1}^{y}:C_{x}^{y - 1}:C_{x - 1}^{y - 2} = 28:7:1$