Вариант-2 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3} — 35x^{2} + 306x = 0 \},$

$B = \{ 2, 3, 10 \}, \quad C = \{ 3, 9, 12, 14, 16, 19 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$

Проверить справедливость равенства $C \times (A \cup B) = (C \times A) \cup (C \times (B \setminus A))$ для множеств: $A = \{3, 6\}$, $B = \{4, 6\}$, $C = \{3, 4\}$.
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии.

$X = \{i, d, a, z\}; \quad Y = \{1, 2, 3, 4\};$

$G = \{(i, 3), (d, 4), (a, 2), (z, 3)\}; \quad A = \{z, a\}; \quad B = \{1, 2\}.$

Дано множество книг в библиотеке. Исследовать отношение «иметь одинакового автора» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \overline{x} \oplus (y \rightarrow z) \right) \land \left( \left( x \land \overline{z} \right) \vee \left( \overline{y} \rightarrow z \right) \right).$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$\left( p \land (q \vee r) \right) \leftrightarrow (s \rightarrow t)$ и $(p \land q \land s) \vee \left( p \land r \land \overline{s} \right) \vee \left( \overline{t} \land \overline{s} \right).$

Приведите выражение $\left( \overline{x \land y} \right) \vee \left( z \rightarrow \left( x \oplus \overline{y} \right) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

На школьном конкурсе научных проектов 8 проектов по химии и 6 по физике. Нужно выбрать 3 проекта для награждения, где первый приз получит проект с наиболее значимым открытием, второй — с наиболее креативным подходом, третий — за лучшее представление. Сколько существует способов распределения призов, если:

а) все награждаемые проекты по химии;

б) два проекта по химии и один по физике;

в) один проект по химии и два по физике;

г) все награждаемые проекты по физике;

д) все награждаемые проекты одной дисциплины.