Вариант-20 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3}- 20x^{2} + 99x = 0 \},$

$B = \{ 2, 10, 11, 14, 17 \}, \quad C = \{ 0, 4, 8, 9, 11, 13 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$

Проверить справедливость равенства $B \times (A \cup C) = (B \times A) \cup (B \times C)$ для множеств: $A = \{1, 9\}$ , $B = \{2, 9\}$ , $C = \{1, 2\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{j, r, m\}$ ; $Y = \{1, 2, 3, 4\}$ ; $G = \{(j, 2), (r, 4), (m, 4), (m, 3)\}$ ; $A = \{j, r\}$ ; $B = \{3, 1\}$ .
Дано множество людей в городе. Исследовать отношение «быть той же национальности» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \overline{x} \rightarrow \left( y \land \overline{z} \right) \right) \land \left( (x \oplus z) \vee \left( \overline{y} \rightarrow \overline{z} \right) \right)$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \land q) \oplus (r \downarrow s)$ и $\left( \left( \overline{p} \land \overline{q} \right) \vee (p \land q) \right) \oplus \left( \overline{r} \land \overline{s} \right)$ .

Приведите выражение $\left( \overline{x \oplus y} \right) \land \left( z \rightarrow \left( \overline{y} \oplus x \right) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

В художественной студии 12 студентов и 5 преподавателей. Нужно выбрать 4 человека для участия в выставке. Сколько способов выбора, если: а) все выбранные — студенты; б) два студента и два преподавателя; в) хотя бы один преподаватель; г) ровно 3 студента.
Найти $x$ и $y$ из данной пропорции

$C_{x + 3}^{y + 1}:C_{x + 2}^{y}:C_{x + 1}^{y - 1} = 11:6:3$