- Даны множества
$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$
$A = \{ x \mid x^{3}– 23x^{2} + 76x = 0 \},$
$B = \{ 1, 4, 11 \}, \quad C = \{ 1, 7, 9 \}.$
а) Найти множества:
$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$
$P = (B \cup C) \setminus A;$
$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$
б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$
- Проверить справедливость равенства $A \times (C \cup B) = (A \times C) \cup (A \times B)$ для множеств: $A = \{3, 8\}$, $B = \{4, 8\}$, $C = \{3, 4\}$.
- Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{c, p, t\}$; $Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}$; $G = \{(c, 2), (p, 1), (t, 2)\}$; $A = \{p, c\}$; $B = \{4, 1\}$.
- Дано множество предметов в комнате. Исследовать отношение «быть того же материала» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
- Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:
$$\left( \left( x \land \overline{y} \right) \oplus (z \leftrightarrow x) \right) \vee \left( \left( \overline{x} \vee y \right) \land \left( \overline{z} \rightarrow x \right) \right)$$
- С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул
$(p | q) \oplus (r \rightarrow s)$ и $\left( \overline{p} \vee \overline{q} \right) \oplus \left( \overline{r} \vee s \right)$.
- Приведите выражение $\left( \overline{x \rightarrow (y \land z)} \right) \oplus \left( x \land \overline{y \vee z} \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.
- В аэропорту 8 пилотов и 7 бортпроводников. Нужно выбрать 5 человек для команды чартерного рейса. Сколько способов выбора, если: а) все выбранные — пилоты; б) три пилота и два бортпроводника; в) хотя бы один бортпроводник; г) ровно 4 пилота.
- Найти $x$ и $y$ из данной пропорции
$$C_{x + 2}^{y + 2}:C_{x + 1}^{y + 1}:C_{x}^{y} = 11:5:2$$