Вариант-22 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3}- 17x^{2} + 70x = 0 \},$

$B = \{ 0, 8, 12, 15, 17 \}, \quad C = \{ 4, 6, 12 \}.$

) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$

Проверить справедливость равенства $B \times (C \Delta A) = (B \times (C \cap A)) \cup (B \times (A \setminus C))$ для множеств: $A = \{3, 6\}$ , $B = \{4, 6\}$ , $C = \{3, 4\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{c, m, f, w, x\}$ ; $Y = \{1, 2, 3\}$ ; $G = \{(c, 1), (m, 1), (f, 3), (w, 3), (x, 2)\}$ ; $A = \{x, c\}$ ; $B = \{1, 3\}$ .
Дано множество планет Солнечной системы. Исследовать отношение «обращаться вокруг Солнца» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \overline{x} \land (y \rightarrow z) \right) \leftrightarrow \left( \left( x \vee \overline{z} \right) \oplus \left( \overline{y} \land z \right) \right)$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \downarrow q)|(r \land s)$ и $\left( \overline{p} \land \overline{q} \right) \vee \overline{(r \land s)}$ .

Приведите выражение $\left( x \land \left( y \downarrow \overline{z} \right) \right) \leftrightarrow \left( \overline{x} \vee \left( y \mid z \right) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

В аптеке работают 6 фармацевтов и 3 консультанта. Нужно выбрать 4 сотрудника для специальной тренировки. Сколько способов выбора, если: а) все выбранные — фармацевты; б) два фармацевта и два консультанта; в) хотя бы один консультант; г) ровно 3 фармацевта.
Найти $x$ и $y$ из данной пропорции

$C_{x + 3}^{y + 3}:C_{x + 2}^{y + 2}:C_{x + 1}^{y + 1} = 3:2:1$