- Даны множества
$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$
$A = \{ x \mid x^{3}– 21x^{2} + 54x = 0 \},$
$B = \{ 5, 7, 14, 15, 16 \}, \quad C = \{ 0, 3, 4, 7, 9, 15 \}.$
а) Найти множества:
$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$
$P = (B \cup C) \setminus A;$
$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$
б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$
- Проверить справедливость равенства $C \times (B \Delta A) = (C \times (B \cap A)) \cup (C \times (A \setminus B))$ для множеств: $A = \{1, 4\}$, $B = \{2, 4\}$, $C = \{1, 2\}$.
- Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{t, v, d, b\}$; $Y = \{1, 2, 3, 4\}$; $G = \{(t, 3), (v, 2), (d, 2), (b, 4)\}$; $A = \{v, b\}$; $B = \{1, 4\}$.
- Дано множество домашних животных. Исследовать отношение "принадлежать к одному виду" на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
- Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:
$$\left( \left( x \rightarrow \overline{y} \right) \vee \left( z \land \overline{x} \right) \right) \land \left( \left( \overline{y} \oplus x \right) \rightarrow (z \vee y) \right)$$
- С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул
$(p \oplus q) \downarrow (r \oplus s)$ и $\overline{\left( \left( \overline{p} \land q \right) \vee \left( p \land \overline{q} \right) \right)} \land \overline{\left( \left( \overline{r} \land s \right) \vee \left( r \land \overline{s} \right) \right)}$.
- Приведите выражение $\left( x \downarrow (y \land z) \right) \oplus \left( \overline{x} \land (y \leftrightarrow z) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.
- На курсах иностранных языков 10 студентов и 4 преподавателя. Нужно выбрать 3 человека для участия в международном семинаре. Сколько способов выбора, если: а) все выбранные — студенты; б) два студента и один преподаватель; в) хотя бы один преподаватель; г) ровно 2 преподавателя.
- Найти $x$ и $y$ из данной пропорции
$$C_{x + 1}^{y + 3}:C_{x}^{y + 2}:C_{x - 1}^{y + 1} = 132:55:20$$