Вариант-25 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3}- 19x^{2} + 70x = 0 \},$

$B = \{ 3, 11, 15, 16, 19 \}, \quad C = \{ 4, 8, 13 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$

Проверить справедливость равенства $A \times (B \Delta C) = (A \times (B \cap C)) \cup (A \times (C \setminus B))$ для множеств: $A = \{2, 7\}$ , $B = \{3, 7\}$ , $C = \{2, 3\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{x, e, m, c, y\}$ ; $Y = \{1, 2, 3\}$ ; $G = \{(x, 3), (e, 1), (m, 3), (c, 2), (y, 1)\}$ ; $A = \{y, e\}$ ; $B = \{2, 1\}$ .
Дано множество звезд в галактике. Исследовать отношение «находиться в одном созвездии» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( x \leftrightarrow \overline{y} \right) \land \left( \overline{z} \vee y \right) \right) \vee \left( \left( \overline{x} \rightarrow z \right) \oplus \left( y \land \overline{z} \right) \right)$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \land q) \oplus (r | s)$ и $\left( \left( \overline{p} \land \overline{q} \right) \vee (p \land q) \right) \oplus \left( \overline{r} \vee \overline{s} \right)$ .

Приведите выражение $\left( x \oplus \overline{y} \right) \downarrow \left( \overline{z} \land (x \vee y) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

В театральной студии 7 актёров и 5 актрис. Нужно выбрать 4 человека для новой постановки. Сколько способов выбора, если: а) все выбранные — актёры; б) два актёра и две актрисы; в) хотя бы одна актриса; г) ровно 3 актёра.
Найти $x$ и $y$ из данной пропорции

$C_{x + 2}^{y + 4}:C_{x + 1}^{y + 3}:C_{x}^{y + 2} = 27:13:7$