Вариант-26 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3}- 22x^{2} + 57x = 0 \},$

$B = \{ 3, 4, 10, 14 \}, \quad C = \{ 5, 10, 14 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$

Проверить справедливость равенства $B \times A = (B \times A) \cup (B \times (A \cap C))$ для множеств: $A = \{4, 8\}$ , $B = \{5, 8\}$ , $C = \{4, 5\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{b, d, k, r\}$ ; $Y = \{1, 2, 3\}$ ; $G = \{(b, 3), (d, 1), (k, 2), (r, 1)\}$ ; $A = \{k, r\}$ ; $B = \{2, 3\}$ .
Дано множество видов спорта. Исследовать отношение «быть олимпийским видом спорта» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.

Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \overline{x} \vee \left( y \land (z \rightarrow x) \right) \right) \land \left( \left( \overline{y} \oplus z \right) \leftrightarrow \left( x \vee \overline{z} \right) \right)$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \rightarrow q) \oplus (r \downarrow s)$ и $\left( \overline{p} \vee q \right) \oplus \left( \overline{r} \land \overline{s} \right)$ .

Приведите выражение $\left( \overline{x \land y} \right) \oplus \left( z \leftrightarrow \left( \overline{x} \vee y \right) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

На конкурсе рисунков 10 работ от детей и 5 от взрослых. Нужно выбрать 4 рисунка для выставки. Сколько способов выбора, если: а) все выбранные работы детей; б) три работы детей и одна взрослого; в) хотя бы одна работа взрослого; г) ровно 2 работы взрослых.
Найти $x$ и $y$ из данной пропорции

$C_{x + 1}^{y + 1}:C_{x}^{y}:C_{x - 1}^{y - 1} = 21:6:1$