Вариант-28 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3}- 17x^{2} + 72x = 0 \},$

$B = \{ 3, 9, 10 \}, \quad C = \{ 4, 9, 10, 14, 15, 19 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$

Проверить справедливость равенства $C \times (B \cap A) = (C \times B) \cap (C \times A)$ для множеств: $A = \{6, 10\}$ , $B = \{7, 10\}$ , $C = \{6, 7\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{v, f, c, m, w\}$ ; $Y = \{1, 2, 3, 4\}$ ; $G = \{(v, 4), (f, 4), (c, 1), (m, 3), (w, 1), (w, 2)\}$ ; $A = \{f, w\}$ ; $B = \{2, 4\}$ .
Дано множество музыкальных инструментов. Исследовать отношение «быть струнным инструментом» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( \overline{y} \rightarrow (x \oplus z) \right) \land \left( x \vee \left( \overline{z} \land y \right) \right) \leftrightarrow \left( \left( y \rightarrow \overline{x} \right) \oplus \left( \overline{z} \land (x \vee y) \right) \right)$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$\overline{(p \land q)} \land (r \rightarrow s)$ и $\left( \overline{p} \vee \overline{q} \right) \land \left( \overline{r} \vee s \right)$ .

7. Приведите выражение $\left( \overline{x \oplus (y \land z)} \right) \leftrightarrow \left( \overline{z} \vee (y \rightarrow x) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «ТЕТРАЭДР»?
Найти $x$ и $y$ из данной пропорции

$C_{x + 1}^{y + 2}:C_{x}^{y + 1}:C_{x - 1}^{y} = 5:4:3$