Вариант-3 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3} - 22x^{2} + 112x = 0 \},$

$B = \{ 0, 6, 7, 8, 9, 10 \}, \quad C = \{ 0, 3, 4, 5, 10, 18 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$

Проверить справедливость равенства $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$ для множеств: $A = \{5, 8\}$ , $B = \{6, 8\}$ , $C = \{5, 6\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии.

$X = \{c, p, x, i, v\}; \quad Y = \{1, 2, 3, 4, 5\};$

$G = \{(c, 5), (p, 1), (x, 4), (i, 4), (v, 2)\}; \quad A = \{v, x\}; \quad B = \{1, 3\}.$

Дано множество городов. Исследовать отношение «быть в той же стране» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( x \leftrightarrow \overline{y} \right) \land \left( z \vee \overline{x} \right) \right) \oplus \left( \left( \overline{y} \land z \right) \rightarrow x \right).$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$\overline{(p \rightarrow q) \land (r \vee s)}$ и $\left( p \land \overline{q} \right) \vee \left( \overline{r} \land \overline{s} \right).$

Приведите выражение $\left( x \oplus \left( y \downarrow \overline{z} \right) \right) \leftrightarrow \left( \overline{x} \land y \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

В оркестре 9 скрипачей разного уровня мастерства и 6 пианистов. Для гала-концерта нужно выбрать 4 музыканта для сольных выступлений: первое — для виртуозной партии, второе — для сложной классической композиции, третье — для современной музыки, четвёртое — для джазовой импровизации. Сколько существует способов распределения выступлений, если:

а) все исполнители — скрипачи;

б) три скрипача и один пианист;

в) один скрипач и три пианиста;

г) все исполнители — пианисты;

д) все исполнители одного инструмента.