Вариант-30 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3}- 7x^{2} + 12x = 0 \},$

$B = \{ 5, 6, 8, 10, 19 \}, \quad C = \{ 2, 7, 11, 17, 19 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$

Проверить справедливость равенства $B \times (A \cap C) = (B \times A) \cup (B \times (C \Delta A))$ для множеств: $A = \{4, 7\}$ , $B = \{5, 7\}$ , $C = \{4, 5\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{x, d, z, f, w\}$ ; $Y = \{1, 2, 3\}$ ; $G = \{(x, 1), (d, 1), (z, 3), (f, 2), (w, 3)\}$ ; $A = \{z, x\}$ ; $B = \{1, 3\}$ .
Дано множество студентов в университете. Исследовать отношение «изучать один и тот же предмет» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( \overline{x} \oplus y \right) \vee \left( z \land \overline{y} \right) \right) \leftrightarrow \left( \left( y \land \overline{z} \right) \rightarrow (x \oplus z) \right)$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \rightarrow q) \land (r \oplus s)$ и $\left( \overline{p} \vee q \right) \land \left( \left( \overline{r} \land s \right) \vee \left( r \land \overline{s} \right) \right)$ .

Приведите выражение $\left( \overline{x \oplus (y \rightarrow z)} \right) \land \left( x \oplus \left( y \land \overline{z} \right) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «ПАРАЛЛЕЛЬ»?
Найти $x$ и $y$ из данной пропорции

$C_{x + 3}^{y + 1}:C_{x + 2}^{y}:C_{x + 1}^{y - 1} = 55:20:6$