Вариант-31 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3}- 23x^{2} + 112x = 0 \},$

$B = \{ 3, 4, 5 \}, \quad C = \{ 0, 2, 8, 15 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$

Проверить справедливость равенства $B \times (C \cup A) = (B \times C) \cup (B \times A)$ для множеств: $A = \{1, 6\}$ , $B = \{2, 6\}$ , $C = \{1, 2\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{w, i, z, e, u\}$ ; $Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ; $G = \{(w, 4), (i, 5), (z, 3), (e, 1), (u, 2)\}$ ; $A = \{z, e\}$ ; $B = \{2, 5\}$ .
Дано множество мобильных телефонов. Исследовать отношение «работать на одной операционной системе» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( y \rightarrow \overline{z} \right) \oplus \left( x \land \overline{y} \right) \right) \land \left( \left( \overline{x} \vee z \right) \leftrightarrow \left( \overline{y} \rightarrow x \right) \right)$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p | q) \oplus (r \land s)$ и $\left( \overline{p} \vee \overline{q} \right) \oplus (r \land s)$ .

Приведите выражение $\left( x \vee \overline{y} \right) \leftrightarrow \left( \overline{z} \rightarrow (x \oplus y) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «АВИАТОР»?
Найти $x$ и $y$ из данной пропорции

$C_{x + 4}^{y + 2}:C_{x + 3}^{y + 1}:C_{x + 2}^{y} = 12:8:5$