Вариант-32 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3}- 21x^{2} + 68x = 0 \},$

$B = \{ 7, 9, 11, 12, 14, 17 \}, \quad C = \{ 0, 8, 10, 12, 14 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$

Проверить справедливость равенства $A \times C = (A \times (B \cap C)) \cup (A \times (C \setminus B))$ для множеств: $A = \{3, 8\}$ , $B = \{4, 8\}$ , $C = \{3, 4\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{s, z, r, h\}$ ; $Y = \{1, 2, 3\}$ ; $G = \{(s, 3), (z, 2), (r, 3), (h, 2)\}$ ; $A = \{h, s\}$ ; $B = \{3, 1\}$ .
Дано множество гор. Исследовать отношение «находиться в одной горной системе» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( \overline{z} \rightarrow x \right) \land \left( y \oplus \overline{x} \right) \right) \vee \left( \left( x \land \overline{y} \right) \leftrightarrow (z \rightarrow y) \right)$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \downarrow q) \land (r \rightarrow s)$ и $\left( \overline{p} \land \overline{q} \right) \land \left( \overline{r} \vee s \right)$ .

Приведите выражение $\left( \overline{x \land y} \right) \oplus \left( z \land \left( \overline{x} \vee y \right) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «БУМАГА»?
Найти $x$ и $y$ из данной пропорции

$C_{x + 2}^{y + 3}:C_{x + 1}^{y + 2}:C_{x}^{y + 1} = 11:6:3$