Вариант-33 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3}- 29x^{2} + 190x = 0 \},$

$B = \{ 1, 11, 14 \}, \quad C = \{ 5, 8, 19 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$

Проверить справедливость равенства $B \times (A \cap C) = (B \times A) \cap (B \times C)$ для множеств: $A = \{5, 9\}$ , $B = \{6, 9\}$ , $C = \{5, 6\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{k, m, u, d, c\}$ ; $Y = \{1, 2, 3\}$ ; $G = \{(k, 3), (m, 2), (u, 3), (d, 2), (c, 1)\}$ ; $A = \{m, c\}$ ; $B = \{3, 2\}$ .
Дано множество видов спорта. Исследовать отношение «относиться к одной и той же категории (например, командные виды спорта)» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( x \oplus \overline{y} \right) \rightarrow (z \vee y) \right) \land \left( \left( \overline{x} \land y \right) \oplus \left( \overline{z} \rightarrow x \right) \right)$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$\overline{(p \rightarrow q)} \vee (r \land s)$ и $\left( p \land \overline{q} \right) \vee (r \land s)$ .

Приведите выражение $\left( x \rightarrow (y \downarrow z) \right) \land \left( \overline{x} \vee \left( y \mid \overline{z} \right) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «АЛГОРИТМ»?
Найти $x$ и $y$ из данной пропорции

$C_{x + 1}^{y + 4}:C_{x}^{y + 3}:C_{x - 1}^{y + 2} = 132:55:20$