Вариант-34 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3}- 28x^{2} + 195x = 0 \},$

$B = \{ 1, 2, 5 \}, \quad C = \{ 2, 11, 18 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$

Проверить справедливость равенства $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ для множеств: $A = \{1, 3\}$ , $B = \{2, 3\}$ , $C = \{1, 2\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{k, f, s\}$ ; $Y = \{1, 2, 3, 4\}$ ; $G = \{(k, 3), (f, 4), (s, 4)\}$ ; $A = \{k, f\}$ ; $B = \{2, 1\}$ .
Дано множество мобильных приложений. Исследовать отношение «принадлежать к одной и той же категории (например, образовательные приложения)» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( \overline{y} \land z \right) \vee \left( \overline{x} \rightarrow y \right) \right) \leftrightarrow \left( \left( x \land \overline{z} \right) \oplus (y \rightarrow z) \right)$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \land q) \rightarrow (r \vee s)$ и $\overline{p} \vee \overline{q} \vee r \vee s$ .

Приведите выражение $\left( x \rightarrow \overline{y \oplus z} \right) \downarrow \left( \overline{x} \land (y \leftrightarrow z) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «МЕТЕЛИЦА»?
Найти $x$ и $y$ из данной пропорции

$C_{x + 4}^{y + 1}:C_{x + 3}^{y}:C_{x + 2}^{y - 1} = 35:14:5$