Вариант-35 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3}- 8x^{2} + 12x = 0 \},$

$B = \{ 4, 9, 11, 14, 15 \}, \quad C = \{ 2, 17, 18 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$

Проверить справедливость равенства $C \times (A \Delta B) = (C \times (A \setminus B)) \cup (C \times (B \setminus A))$ для множеств: $A = \{7, 10\}$ , $B = \{8, 10\}$ , $C = \{7, 8\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{u, d, e, v, k\}$ ; $Y = \{1, 2, 3, 4\}$ ; $G = \{(u, 4), (d, 3), (e, 3), (v, 2), (k, 1)\}$ ; $A = \{d, k\}$ ; $B = \{2, 1\}$ .
Дано множество птиц. Исследовать отношение «принадлежать к одному семейству птиц» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( z \land \overline{x} \right) \rightarrow \left( \overline{y} \vee x \right) \right) \oplus \left( (y \land z) \leftrightarrow \left( \overline{x} \rightarrow y \right) \right)$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \oplus q) \land (r \rightarrow s)$ и $\left( \left( \overline{p} \land q \right) \vee \left( p \land \overline{q} \right) \right) \land \left( \overline{r} \vee s \right)$ .

Приведите выражение $\left( \overline{x \land y} \right) \oplus \left( z \vee \left( \overline{y} \rightarrow x \right) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «УНИВЕРСИТЕТ»?
Найти $x$ и $y$ из данной пропорции

$C_{x + 2}^{y + 4}:C_{x + 1}^{y + 3}:C_{x}^{y + 2} = 33:13:5$