- Даны множества
$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$
$A = \{ x \mid x^{3}– 7x^{2} + 6x = 0 \},$
$B = \{ 5, 9, 10, 14, 18 \}, \quad C = \{ 3, 11, 15, 18, 19 \}.$
а) Найти множества:
$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$
$P = (B \cup C) \setminus A;$
$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$
б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $|\beta(A)|.$
- Проверить справедливость равенства $C \times (B \cup A) = (C \times B) \cup (C \times (A \setminus B))$ для множеств: $A = \{1, 7\}$, $B = \{2, 7\}$, $C = \{1, 2\}$.
- Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии. $X = \{h, g, r\}$; $Y = \{1, 2, 3, 4\}$; $G = \{(h, 4), (g, 4), (r, 1)\}$; $A = \{g, h\}$; $B = \{1, 4\}$.
- Дано множество книг. Исследовать отношение «быть написанным в одном литературном жанре» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
- Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:
$$\left( \overline{x} \oplus (y \land z) \right) \vee \left( \left( \overline{z} \rightarrow x \right) \land \left( y \leftrightarrow \overline{x} \right) \right)$$
- С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул
$(p \land q) \oplus (r \land s)$ и $\left( \left( \overline{p} \land \overline{q} \right) \vee (p \land q) \right) \oplus \left( \left( \overline{r} \land \overline{s} \right) \vee (r \land s) \right)$.
- Приведите выражение $\left( x \leftrightarrow \overline{y} \right) \land \left( \overline{z} \oplus (x \land y) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.
- Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «ОРГАНИЗАЦИЯ»?
- Найти $x$ и $y$ из данной пропорции
$$C_{x + 2}^{y + 2}:C_{x + 1}^{y + 1}:C_{x}^{y} = 56:35:20$$