Вариант-4 | РГР №1 дискретная математика

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3} - 22x^{2} + 120x = 0 \},$

$B = \{ 2, 3, 9, 11 \}, \quad C = \{ 0, 12, 15, 17 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$

Проверить справедливость равенства $B \times A = (B \times (A \setminus C)) \cup (B \times (A \cap C))$ для множеств: $A = \{2, 5\}$ , $B = \{3, 5\}$ , $C = \{2, 3\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии.

$X = \{m, n, i\}; \quad Y = \{1, 2, 3\};$

$G = \{(m, 3), (n, 2), (i, 1)\}; \quad A = \{m, i\}; \quad B = \{3, 1\}.$

Дано множество целых чисел. Исследовать отношение «иметь одинаковый остаток при делении на 5» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.

$\left( \overline{x} \land (y \oplus z) \right) \leftrightarrow \left( \left( x \vee \overline{z} \right) \rightarrow (y \land x) \right).$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \vee q) \rightarrow (r \land s \land t)$ и $(\overline{p} \land \overline{q}) \vee (r \land s \land t).$

Приведите выражение $\left( \overline{x \vee y} \right) \downarrow \left( \overline{z} \land (x \oplus y) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

В школе искусств 7 учеников-художников и 5 учеников-скульпторов. Для выставки нужно выбрать 4 работы: главный экспонат, инновационное произведение, лучшую картину и лучшую скульптуру. Сколько существует способов выбора работ, если:

а) все работы — картины;

б) три картины и одна скульптура;

в) одна картина и три скульптуры;

г) все работы — скульптуры;

д) все работы одного вида искусства.