Вариант-5 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3} - 26x^{2} + 160x = 0 \},$

$B = \{ 4, 16, 19 \}, \quad C = \{ 4, 7, 9, 11, 19 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$

Проверить справедливость равенства $C \times (B \cup A) = (C \times B) \cup (C \times (A \setminus B))$ для множеств: $A = \{3, 7\}$ , $B = \{7, 8\}$ , $C = \{3, 8\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии.

$X = \{h, z, a\}; \quad Y = \{1, 2, 3, 4, 5\};$

$G = \{(h, 2), (z, 3), (a, 3)\}; \quad A = \{z, h\}; \quad B = \{5, 1\}.$

Дано множество квадратных матриц одинакового размера. Исследовать отношение «быть коммутативными» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( x \rightarrow \left( y \land \overline{z} \right) \right) \vee \overline{x} \right) \land \left( (z \oplus y) \leftrightarrow \overline{x} \right).$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \leftrightarrow q) \oplus (r \leftrightarrow s)$ и $\left( (p \land q) \vee \left( \overline{p} \land \overline{q} \right) \right) \oplus \left( (r \land s) \vee \left( \overline{r} \land \overline{s} \right) \right).$

Приведите выражение $\left( x \land \overline{y} \right) \oplus \left( z \leftrightarrow \left( y \vee \overline{x} \right) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

На конкурсе молодых певцов 12 сопрано и 8 басов. Нужно выбрать 4 исполнителя для сольных выступлений: ария, романс, народная песня и джазовый стандарт. Сколько существует способов распределения выступлений, если:

а) все исполнители — сопрано;

б) три сопрано и один бас;

в) один сопрано и три баса;

г) все исполнители — басы;

д) все исполнители одного голоса.