Вариант-6 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3} - 34x^{2} + 285x = 0 \},$

$B = \{ 9, 10, 17 \}, \quad C = \{ 2, 3, 13, 14, 18, 19 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$

Проверить справедливость равенства $B \times (A \Delta C) = (B \times (A \setminus C)) \cup (B \times (C \setminus A))$ для множеств: $A = \{1, 7\}$ , $B = \{2, 7\}$ , $C = \{1, 2\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии.

$X = \{a, j, r\}; \quad Y = \{1, 2, 3, 4, 5\};$

$G = \{(a, 2), (j, 4), (r, 5)\}; \quad A = \{a, j\}; \quad B = \{1, 3\}.$

Дано множество студентов учебной группы. Исследовать отношение «быть одногруппником» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\overline{\left( (x \land y) \rightarrow \left( z \vee \overline{y} \right) \right)} \oplus \left( \left( \overline{x} \land z \right) \vee y \right).$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \land q \land r) \vee \left( \overline{p} \land \overline{s} \land t \right) \vee (q \land r \land s)$ и $(p \land q \land r) \vee \left( \overline{p} \land \overline{s} \land t \right) \vee \left( (q \land r) \vee s \right).$

Приведите выражение $\left( \overline{x \leftrightarrow z} \right) \land \left( y \rightarrow \left( \overline{z} \oplus x \right) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

В IT-компании 10 разработчиков и 6 тестировщиков. Для нового проекта нужно выбрать 4 сотрудника для следующих ролей: руководитель проекта, главный программист, ведущий тестировщик и аналитик данных. Сколько существует способов распределения ролей, если:

а) все сотрудники — разработчики;

б) два разработчика и два тестировщика;

в) один разработчик и три тестировщика;

г) все сотрудники — тестировщики;

д) все сотрудники одной специализации.