Вариант-7 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3} - 14x^{2} + 40x = 0 \},$

$B = \{ 0, 7, 14 \}, \quad C = \{ 5, 6, 13, 14, 17 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$

Проверить справедливость равенства $A \times C = (A \times (B \cap C)) \cup (A \times (C \setminus B))$ для множеств: $A = \{1, 6\}$ , $B = \{2, 6\}$ , $C = \{1, 2\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии.

$X = \{b, x, k, j\}; \quad Y = \{1, 2, 3\};$

$G = \{(b, 3), (x, 2), (k, 3), (j, 1)\}; \quad A = \{b, x\}; \quad B = \{2, 1\}.$

Дано множество точек на плоскости. Исследовать отношение «лежать на одной прямой» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( x \oplus \overline{y} \right) \land \left( \overline{z} \rightarrow x \right) \right) \vee \left( (y \leftrightarrow z) \land \left( x \vee \overline{y} \right) \right).$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \rightarrow q) \land \left( r \rightarrow (s \vee t) \right)$ и $\left( \overline{p} \vee q \right) \land \left( \overline{r} \vee s \vee t \right).$

Приведите выражение $\left( x \rightarrow \overline{y \land z} \right) \vee \left( \overline{x} \land (y \downarrow z) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

На научной конференции 7 специалистов по биологии и 5 по химии. Нужно выбрать 4 докладчика для различных секций: генетика, молекулярная биология, органическая химия и неорганическая химия. Сколько существует способов распределения докладов, если:

а) все докладчики — биологи;

б) три биолога и один химик;

в) один биолог и три химика;

г) все докладчики — химики;

д) все докладчики одной специальности.