Вариант-8 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3} - 5x^{2} + 4x = 0 \},$

$B = \{ 3, 8, 14, 18 \}, \quad C = \{ 3, 16, 18 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$

Проверить справедливость равенства $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ для множеств: $A = \{3, 9\}$ , $B = \{4, 9\}$ , $C = \{3, 4\}$ .
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии.

$X = \{x, c, j\}; \quad Y = \{1, 2, 3, 4\};$

$G = \{(x, 1), (c, 2), (j, 1)\}; \quad A = \{j, x\}; \quad B = \{4, 2\}.$

Дано множество студентов одной специальности. Исследовать отношение «учиться по одной программе» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \overline{x} \rightarrow \left( y \oplus (z \land x) \right) \right) \land \left( \left( z \vee \overline{x} \right) \leftrightarrow \left( \overline{y} \rightarrow z \right) \right).$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$\left( (p \vee q) \land (r \rightarrow s) \right) \vee \left( \overline{t} \land u \right)$ и $\left( p \land r \land \overline{s} \right) \vee \left( q \land \overline{r} \right) \vee \left( \overline{t} \land u \right).$

Приведите выражение $\left( \overline{x \oplus y} \right) \leftrightarrow \left( z \land \left( \overline{y} \vee x \right) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

В ресторане 8 поваров и 4 кондитера. Для специального ужина нужно выбрать 4 человека для приготовления блюд: закуска, основное блюдо, десерт и эксклюзивный напиток. Сколько существует способов распределения задач, если:

а) все задачи выполняют повара;

б) три повара и один кондитер;

в) один повар и три кондитера;

г) все задачи выполняют кондитеры;

д) все задачи выполняют участники одной профессии.