Вариант-9 | РГР №1 дискретная математика

Даны множества

$U = \{ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11, 12,13,14,15,16,17,18,19 \},$

$A = \{ x \mid x^{3} — 22x^{2} + 85x = 0 \},$

$B = \{ 0, 2, 10, 11, 14, 16 \}, \quad C = \{ 2, 4, 5, 8 \}.$

а) Найти множества:

$A \cap C, \quad A \cup B, \quad \overline{A}, \quad A \setminus B, \quad A \Delta B;$

$P = (B \cup C) \setminus A;$

$K = B \cap \overline{C} \cup A \cap \overline{B} \cup B \cap C.$

б) Найти булеан множества: $\beta(A)$ и его мощность: $| \beta(A) |.$

Проверить справедливость равенства $A \times (B \Delta C) = (A \times (B \setminus C)) \cup (A \times (C \setminus B))$ для множеств: $A = \{3, 4\}$, $B = \{4, 7\}$, $C = \{3, 7\}$.
Изобразить соответствие $F = (X, Y, G)$ в виде графа. Проверьте соответствие на сюръективность, инъективность и биективность. Найдите образ множества $A$ и прообраз множества $B$ при данном соответствии.

$X = \{w, c, p\}; \quad Y = \{1, 2, 3, 4, 5\};$

$G = \{(w, 1), (c, 1), (p, 5)\}; \quad A = \{w, p\}; \quad B = \{4, 2\}.$

Дано множество компьютерных файлов. Исследовать отношение «иметь одинаковый размер» на предмет следующих свойств: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.
Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

$\left( \left( x \land (y \leftrightarrow z) \right) \vee \left( \overline{x} \rightarrow \overline{z} \right) \right) \oplus \left( \left( y \land \overline{x} \right) \rightarrow (z \oplus x) \right).$

С помощью эквивалентных преобразований докажите или опровергните равносильность формул

$(p \oplus q) \leftrightarrow (r \oplus s)$ и $\left( \left( p \land \overline{q} \right) \vee \left( \overline{p} \land q \right) \right) \leftrightarrow \left( \left( r \land \overline{s} \right) \vee \left( \overline{r} \land s \right) \right).$

Приведите выражение $\left( x \vee \left( y \leftrightarrow \overline{z} \right) \right) \land \left( \overline{x} \oplus (y \land z) \right)$ к следующим нормальным формам: КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ.

На фестивале кино 9 режиссёров и 6 сценаристов. Нужно выбрать 4 проекта для финансирования: лучший сценарий, лучшая режиссура, инновационный проект и лучший дебют. Сколько существует способов распределения финансирования, если:

а) все проекты — режиссёрские;

б) три режиссёра и один сценарист;

в) один режиссёр и три сценариста;

г) все проекты — сценарные;

д) все проекты одного типа.