Основные законы операций над множествами обеспечивают правила, которыми руководствуются при выполнении операций, таких как объединение, пересечение и разность множеств. Все основные законы операций над множествами приведены в таблице.
Иногда рассматриваются и другие комбинации операций над множествами, которые также могут быть рассмотрены как основные.
1.2.48. Докажите тождество $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$, применяя свойства операций над множествами и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Решение.
- Для доказательства равенства множеств необходимо доказать обратные включения:
$A \setminus (B \cup C) \subseteq (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ и $(A \setminus B) \cap (A \setminus C) \subseteq A \setminus (B \cup C)$.
$\Rightarrow )\ x \in A \setminus (B \cup C) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}
x \in A \\
x \notin B \cup C
\end{array} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}
x \in A \\
\left\{ \begin{array}{r}
x \notin B \\
x \notin C
\end{array} \right.\
\end{array} \right.\ \ \Rightarrow$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}
\left\{ \begin{array}{r}
x \in A \\
x \notin B
\end{array} \right.\ \\
\left\{ \begin{array}{r}
x \in A \\
x \notin C
\end{array} \right.\
\end{array} \right.\ \ \Rightarrow x \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$.
Следовательно, $A \setminus (B \cup C) \subseteq (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$.
$\Leftarrow )\ x \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}
x \in A \setminus B \\
x \in A \setminus C
\end{array} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}
\left\{ \begin{array}{r}
x \in A \\
x \notin B
\end{array} \right.\ \\
\left\{ \begin{array}{r}
x \in A \\
x \notin C
\end{array} \right.\
\end{array} \right.\ \Rightarrow$
$\Rightarrow \ x \in A$, но $x \notin B$ и $x \notin C\ \Rightarrow \ \left\{ \begin{array}{r}
x \in A \\
\left\{ \begin{array}{r}
x \notin B \\
x \notin C
\end{array} \right.\
\end{array} \right.\ \ \Rightarrow \ x \in A \setminus (B \cup C)$.
Следовательно, $(A \setminus B) \cap (A \setminus C) \subseteq A \setminus (B \cup C)$.
Как видим оба включения выполняются, следовательно, делаем вывод
$A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$.
- Докажем равенство данных множеств с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Видим, что диаграммы множеств $A \setminus (B \cup C)$ и $(A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ (Рис. 1 и Рис. 4) совпадают, это позволяет нам заключить, что $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$.
Задания для самостоятельной работы
1.2.49. Докажите тождество $A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$, применяя свойства операций над множествами и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
1.2.50. Докажите тождество $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$, применяя свойства операций над множествами и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
1.2.51. Докажите тождество $(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)$, применяя свойства операций над множествами и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
1.6.28. Докажите тождество $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$, применяя свойства операций над множествами и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
1.6.29. Докажите тождество $(B \setminus C) \setminus A = (A \cup B) \setminus (A \cup C)$, применяя свойства операций над множествами и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
1.6.30. Докажите тождество $(A \cap B) \cup (A \setminus B) = A$, применяя свойства операций над множествами и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.