Законы операций над множествами

Основные законы операций над множествами обеспечивают правила, которыми руководствуются при выполнении операций, таких как объединение, пересечение и разность множеств. Все основные законы операций над множествами приведены в таблице.

Иногда рассматриваются и другие комбинации операций над множествами, которые также могут быть рассмотрены как основные.

1.2.48. Докажите тождество $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ , применяя свойства операций над множествами и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Решение.

Для доказательства равенства множеств необходимо доказать обратные включения:

$A \setminus (B \cup C) \subseteq (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ и $(A \setminus B) \cap (A \setminus C) \subseteq A \setminus (B \cup C)$ .

$\Rightarrow )\ x \in A \setminus (B \cup C) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} x \in A \\ x \notin B \cup C \end{array} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} x \in A \\ \left\{ \begin{array}{r} x \notin B \\ x \notin C \end{array} \right.\ \end{array} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} \left\{ \begin{array}{r} x \in A \\ x \notin B \end{array} \right.\ \\ \left\{ \begin{array}{r} x \in A \\ x \notin C \end{array} \right.\ \end{array} \right.\ \ \Rightarrow$

$\Rightarrow x \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ .

Следовательно, $A \setminus (B \cup C) \subseteq (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ .

$\Leftarrow )\ x \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} x \in A \setminus B \\ x \in A \setminus C \end{array} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} \left\{ \begin{array}{r} x \in A \\ x \notin B \end{array} \right.\ \\ \left\{ \begin{array}{r} x \in A \\ x \notin C \end{array} \right.\ \end{array} \right.\ \Rightarrow$

$\Rightarrow \ x \in A$ , но $x \notin B$ и $x \notin C\ \Rightarrow \ \left\{ \begin{array}{r} x \in A \\ \left\{ \begin{array}{r} x \notin B \\ x \notin C \end{array} \right.\ \end{array} \right.\ \ \Rightarrow \ x \in A \setminus (B \cup C)$ .

Следовательно, $(A \setminus B) \cap (A \setminus C) \subseteq A \setminus (B \cup C)$ .

Как видим оба включения выполняются, следовательно, делаем вывод

$A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ .

Докажем равенство данных множеств с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Диаграммы множеств Эйлера-Венна ischanow.com — Диаграммы множеств Эйлера-Венна

Видим, что диаграммы множеств $A \setminus (B \cup C)$ и $(A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ (Рис. 1 и Рис. 4) совпадают, это позволяет нам заключить, что $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$ .

Задания для самостоятельной работы

1.2.49. Докажите тождество $A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$ , применяя свойства операций над множествами и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

1.2.50. Докажите тождество $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ , применяя свойства операций над множествами и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

1.2.51. Докажите тождество $(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)$ , применяя свойства операций над множествами и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

1.6.28. Докажите тождество $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ , применяя свойства операций над множествами и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

1.6.29. Докажите тождество $(B \setminus C) \setminus A = (A \cup B) \setminus (A \cup C)$ , применяя свойства операций над множествами и с помощью диаграмм Эйлера-Венна.