Геометрические приложения двойного интеграла

Содержание

Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла
Вычисление площади поверхности

Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла

1.1. Пусть $z=f(x,y)$ -неотрицательная, непрерывная функция в замкнутой области $D$ . Если $V$ — тело, ограниченное сверху поверхностью $z=f(x,y)$ , снизу — областью $D$ , а сбоку — соответствующей цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси OZ и направляющей, совпадающей с границей области $D$ , то объем этого тела равен

$V=\int\limits_{D}\int f(x,y) dxdy$

(1)

1.2. Пусть $V$ — тело, ограниченное сверху поверхностью $z=f(x,y)$ , снизу — поверхностью $z=g(x,y)$ , причем проекцией обеих поверхностей на плоскость $Oxy$ служит область $D$ , в которой функции $f(x,y)$ и $g(x,y)$ непрерывны (и $f(x,y) \qe g(x,y)$ ), то объем этого тела равен

$V=\int\limits_{D}\int (f(x,y)-g(x,y)) dxdy$

(2)

Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла

Если $D$ — ограниченная область плоскости $Oxy$ , то ее площадь $S$ вычисляется по формуле

$S=S(D)=\int\limits_{D}\int dxdy$

(3)

т.е. если в области $D$ подинтегральная функция $f(x,y)=1$ , то значение интеграла (1) численно равно площади области $D$ .

Вычисление площади поверхности

Список использованной литературы:

Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике, 2 курс [Текст]/ К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко, Е.Д. Куланин; под редакцией С.Н. Федина.7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 592с.
Штейнгардт, Д.А. Методические разработки для выполнения контрольной работы №5 (часть 2, кратные и криволинейные интегралы) [Текст]/ Д.А. Штейнгардт. — Москва, 1981. — 70с.