Практическая работа: интервальный вариационный ряд, метод условных вариант

Варианты для выполнения работы

I. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.

Почти все встречающиеся в жизни величины (урожайность сельскохозяйственных растений, продуктивности скота, производительность труда и заработная плата рабочих, объем производства продукции и т.д.) принимают неодинаковые значения у различных членов совокупности. Поэтому возникает необходимость в изучении их изменяемости. Это изучение начинается с проведения соответствующих наблюдений, обследований.

В результате наблюдений получают сведения о численной величине изучаемого признака у каждого члена данной совокупности.

Пример. Имеются данные о размере прибыли 100 коммерческих банков. Прибыль, млн. рублей.

30,2	51,9	43,1	58,9	34,1	55,2	47,9	43,7	53,2	34,9
47,8	65,7	37,8	68,6	48,4	67,5	27,3	66,1	52,0	55,6
54,1	26,9	53,6	42,5	59,3	44,8	52,8	42,3	55,9	48,1
44,5	69,8	47,3	35,6	70,1	39,5	70,3	33,7	51,8	56,1
28,4	48,7	41,9	58,1	20,4	56,3	46,5	41,8	59,5	38,1
41,4	70,4	31,4	52,5	45,2	52,3	40,2	60,4	27,6	57,4
29,3	53,8	46,3	40,1	50,3	48,9	35,8	61,7	49,2	45,8
45,3	71,5	35,1	57,8	28,1	57,6	49,6	45,5	36,2	63,2
61,9	25,1	65,1	49,7	62,1	46,1	39,9	62,4	50,1	33,1
33,3	49,8	39,8	45,9	37,3	78,0	64,9	28,8	62,5	58,7

Из данной таблицы видно, что интересующий нас признак (прибыль банков) меняется от одного члена совокупности к другому, варьирует. Варьирование есть изменяемость признака у отдельных членов совокупности.

Вариационным рядом называется последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке и соответствующих им частот.

Число, показывающее, сколько раз повторяется в данной совокупности каждое значение признака, называется частотой.

Составим ранжированный вариационный ряд (выпишем варианты в порядке возрастания):

20,4	25,1	26,9	27,3	27,6	28,1	28,4	28,8	29,3	30,2
31,4	33,1	33,3	33,7	34,1	34,9	35,1	35,6	35,8	36,2
37,3	37,8	38,1	39,5	39,8	39,9	40,1	40,2	41,4	41,8
41,9	42,3	42,5	43,1	43,7	44,5	44,8	45,2	45,3	45,5
45,8	45,9	46,1	46,3	46,5	47,3	47,8	47,9	48,1	48,4
48,7	48,9	49,2	49,6	49,7	49,8	50,1	50,3	51,8	51,9
52,0	52,3	52,5	52,8	53,2	53,6	53,8	54,1	55,2	55,6
55,9	56,1	56,3	57,4	57,6	57,8	58,1	58,7	58,9	59,3
59,5	60,4	61,7	61,9	62,1	62,4	62,5	63,2	64,9	65,1
65,7	66,1	67,5	68,6	69,8	70,1	70,3	70,4	71,5	78,0

В нашем случае каждое значение признака (варианта вариационного ряда) повторилось только один раз, т.е. значение частоты для всех вариант равно единице. Перейдем к интервальному вариационному ряду, так как интересующий нас признак принимает дробные, практически не повторяющиеся значения.

Для этого необходимо определить число интервалов (классов) и длину интервала (классного промежутка), после чего произвести разноску, т.е. подсчитать для каждого интервала число вариант, попавших в него.

Количество классов устанавливают в зависимости от степени точности, с которой ведется обработка, и количества объектов в выборке. Считается удобным при объеме выборки (n) в пределах от 30 до 60 вариант распределять их на 6-7 классов, при n от 60 до 100 вариант — на 7-8 классов, при n от 100 и более вариант — на 9-17 классов.

Нужное количество групп также может быть ориентировочно вычислено по формуле Стерджесса:

$k=1+3,322lgn$

где $k$ — число групп (классов, интервалов) ряда распределения; n — объем выборки.

Можно также использовать выражение:

$k=\sqrt{n}.$

При $n\le 70$ они дают примерно одинаковые результаты.

В рассматриваемом примере о размере прибыли коммерческих банков, n=100. Применяя формулу Стерджесса, получим:

$k=1+3,322lg100=1+3,322\cdot 2=7,644\approx 8.$

Однако $\sqrt{100}=10.$ Таким образом, число интервалов может быть равно 8, 9, 10 и т.д.

Нахождение нужного количества групп и их размеров часто бывает взаимообусловлено. Для того, чтобы как-то определиться с числом интервалов, найдем размах вариации — разность между наибольшей и наименьшей вариантой:

$R=x_{max}-x_{min}$

где $R$ — размах вариации,

$x_{max}$ — наибольшее значение варьирующего признака,

$x_{min}$ — наименьшее значение варьирующего признака.

Найдем размах вариации для рассматриваемой задачи:

$R=78,0-20,4=57,6$

Для того, чтобы найти длину интервала (величину классового промежутка) необходимо разделить размах вариации на число классов и полученную величину округлить таким образом, чтобы было удобно производить сначала разноску, а затем и различные вычисления. Рекомендую округлять до единиц, до которых округлены варианты в исходной таблице, в нашем случае до десятых.

$h\approx \frac{R}{k}$

Согласно формуле получаем

$h\approx \frac{57,6}{8}=7,2$

Теперь необходимо определиться с началом первого интервала. Для этого можно использовать формулу:

$x_1\approx x_{min}-\frac{h}{2}$

$x_1\approx 20,4-\frac{7,2}{2}=16,8.$

Замечание. За начало первого интервала можно принять некоторое значение, несколько меньшее $x_{min}$ или само значение $x_{min}$ . Далее в табличном виде я покажу оба варианта.

Прибавив к началу первого интервала (нижней границе) шаг, получим верхнюю границу первого интервала и одновременно нижнюю границу второго интервала. Выполняя последовательно указанные действия, будем находить границы последующих интервалов до тех пор, пока не будет получено или перекрыто $x_{max}$ .

Таким образом, верхняя граница одного интервала одновременно является нижней границей другого интервала. Чтобы не возникало сомнений, в какой интервал отнести варианту, попавшую на границу, условимся относить ее к верхнему интервалу.

Составим теперь рабочую таблицу для построения интервального вариационного ряда и произведем подсчет частот вариант, попавших в тот или иной интервал.

Как и обещал покажу две таблицы построения ряда:

1. Отсчет ведем от $x_{min}$ , т.е. нижняя граница первого интервала совпадает с $x_{min}$ .

Группы банков по размеру прибыли (границы интервалов)	Количество банков, принадлежащих данной группе (частоты, $n_i$ )	Накопленные частоты, $S_i$
20,4 — 27,6	4	4
27,6 — 34,8	11	15
34,8 — 42	16	31
42 — 49,2	21	52
49,2 — 56,4	21	73
56,4 — 63,6	15	88
63,6 — 70,8	10	98
70,8 — 78	2	100

2. Начало первого интервала определяем с помощью формулы: $x_1\approx x_{min}-\frac{h}{2}$ .

Группы банков по размеру прибыли (границы интервалов)	Количество банков, принадлежащих данной группе (частоты, $n_i$ )	Накопленные частоты, $S_i$
16,8 — 24	1	1
24 — 31,2	9	10
31,2 — 38,4	13	23
38,4 — 45,6	17	40
45,6 — 52,8	23	63
52,8 — 60	18	81
60 — 67,2	11	92
67,2 — 74,4	7	99
74,4 — 81,6	1	100

Как мы видим в 1-м случае у нас получилось восемь интервалов, что полностью совпадает с результатом, который нам дала формула Стерджесса. Во втором случае у нас получилось девять интервалов, так как при поиске начала первого интервала пользовались специальной формулой.

Для дальнейшего исследования я буду пользоваться результатами второй таблицы, так как там ярко выражен модальный интервал (одна мода) и медиана практически точно попадает на середину вариационного ряда.

Мы получили интервальный вариационный ряд — упорядоченную совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами попаданий в каждый из них значений величины.

II. Графическая интерпретация вариационных рядов.

№ п/п	Границы интервалов, $[x_{i}; x_{i+1})$	Середины интервалов, $x_{i}^{*}=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}$	Частоты интервалов, $n_i$	Относительные частоты $W_i=\frac{n_i}{n}$	Плотность относит. частоты $\frac{W_i}{h}$	Плотность частоты $\frac{n_i}{h}$
1	16,8 — 24	20,4	1	0,01	0,001	0,139
2	24 — 31,2	27,6	9	0,09	0,013	1,250
3	31,2 — 38,4	34,8	13	0,13	0,018	1,806
4	38,4 — 45,6	42	17	0,17	0,024	2,361
5	45,6 — 52,8	49,2	23	0,23	0,032	3,194
6	52,8 — 60	56,4	18	0,18	0,025	2,500
7	60 — 67,2	63,6	11	0,11	0,015	1,528
8	67,2 — 74,4	70,8	7	0,07	0,010	0,972
9	74,4 — 81,6	78	1	0,01	0,001	0,139
			$\sum=100$	$\sum=1$

Строим графики:

Далее найдем моду вариационного ряда:

$M_o(X)=x_{M_o}+h\frac{(n_2-n_1)}{(n_2-n_1)+(n_2-n_3)}$

где

$x_{M_o}$ — начало модального интервала;

$h$ — длина частичного интервала (шаг);

$n_1$ — частота предмодального интервала;

$n_2$ — частота модального интервала;

$n_3$ — частота послемодального интервала.

Определим модальный интервал — интервал, имеющий наибольшую частоту. Из таблицы видно, что модальным является интервал (45,6 — 52,8).

$M_o(X)=45,6+7,2\frac{(23-17)}{(23-17)+(23-18)}=$

$=45,6+7,2\cdot \frac{6}{6+5}=45,6+3,93=49,5$

Медиана

Для интервального ряда медиана находится по формуле:

$M_e(X)=x_{M_e}+h\frac{0,5n-S_{M_{e}-1}}{n_{M_e}}$

где

$x_{M_e}$ — начало медианного интервала;

$h$ — длина частичного интервала (шаг);

$n$ — объем совокупности;

$S_{M_{e}-1}$ — накопленная частота интервала, предшествующая медианному;

$n_{M_e}$ — частота медианного интервала.

Определим медианный интервал — интервал, в котором впервые накопленная частота превышает половину объема выборки.Так как объем выборки n=100, то n/2=50. По таблице найдем интервал, где впервые накопленные частоты превысят это значение. Таким является интервал (45,6 — 52,8).

Получаем,

$M_e(X)=45,6+7,2\frac{0,5\cdot 100-40}{23}\approx 48,7.$

III. Расчет сводных характеристик выборки.

Для определения $x_B, D_{B}, \sigma_{B}$ составим расчетную таблицу. Для начала определимся с ложным нулем С. В качестве ложного нуля можно принять любую варианту. Максимальная простота вычислений достигается, если выбрать в качестве ложного нуля варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (часто такая варианта имеет наибольшую частоту).

Варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю. В нашем случае С=49,2.

Равноотстоящими называют варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью h.

Условными называют варианты, определяемые равенством:

$U_i=\frac{(x_{i}^{*}-C)}{h}$

Произведем расчет условных вариант согласно формуле:

$U_1=\frac{20,4-49,2}{7,2}=-4$

$U_2=\frac{27,6-49,2}{7,2}=-3$

$U_3=\frac{34,8-49,2}{7,2}=-2$

$U_4=\frac{42-49,2}{7,2}=-1$

$U_5=\frac{49,2-49,2}{7,2}=0$

$U_6=\frac{56,4-49,2}{7,2}=1$

$U_7=\frac{63,6-49,2}{7,2}=2$

$U_8=\frac{70,8-49,2}{7,2}=3$

$U_9=\frac{78-49,2}{7,2}=4$

N п/п	Середины интервалов, $x_{i}^{*}$	Частоты интервалов, $n_i$	Условные варианты, $U_i$	Произведения частот и условных вариант, $n_i\cdot U_i$	Произведения частот и условных вариант, $n_i\cdot U_i^2$	Произведения частот и условных вариант, $n_i\cdot U_i^3$	Произведения частот и условных вариант, $n_i\cdot U_i^4$	Произведения частот и условных вариант, $n_i\cdot (U_i+1)^2$	Произведения частот и условных вариант, $n_i\cdot(U_i+1)^4$
1	20,4	1	-4	-4	16	-64	256	9	81
2	27,6	9	-3	-27	81	-243	729	36	144
3	34,8	13	-2	-26	52	-104	208	13	13
4	42	17	-1	-17	17	-17	17	0	0
5	49,2	23	0	0	0	0	0	23	23
6	56,4	18	1	18	18	18	18	72	288
7	63,6	11	2	22	44	88	176	99	891
8	70,8	7	3	21	63	189	567	112	1792
9	78	1	4	4	16	64	256	25	625
		$\sum=100$		$\sum n_iU_i=-9$	$\sum n_iU_i^2=307$	$\sum n_i\cdot U_i^3=-69$	$\sum n_i\cdot U_i^4=2227$	$\sum n_i\cdot (U_i+1)^2=389$	$\sum n_i\cdot(U_i+1)^4=3857$

Контроль:

$\sum n_i U_i^2 + 2\sum n_iU_i+n=\sum n_i{(U_i+1)}^2$

$\sum n_i U_i^2 + 2\sum n_iU_i+n=307+2\cdot (-9)+100=389$

$\sum n_i{(U_i+1)}^2=389$

Контроль:

$\sum n_i U_i^4 + 4\sum n_iU_i^3+6\sum n_iU_i^2+4\sum n_iU_i+n=\sum n_i{(U_i+1)}^4$

$\sum n_i U_i^4 + 4\sum n_iU_i^3+6\sum n_iU_i^2+4\sum n_iU_i+n=$

$=2227+4\cdot (-69)+6 \cdot 307+4\cdot (-9)+100=3857$

$\sum n_i{(U_i+1)}^4=3857$

Равенство выполнено, следовательно вычисления произведены верно.

Вычислим условные моменты 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков:

$M_1^{*}=\frac{\sum n_iU_i}{n}=\frac{-9}{100}=-0,09;$

$M_2^{*}=\frac{\sum n_iU_i^2}{n}=\frac{307}{100}=3,07;$

$M_3^{*}=\frac{\sum n_iU_i^3}{n}=\frac{-69}{100}=-0,69;$

$M_4^{*}=\frac{\sum n_iU_i^4}{n}=\frac{2227}{100}=22,27.$

Найдем выборочные среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение :

$x_{B}=M_1^{*}\cdot h+C=-0,09\cdot 7,2+49,2=48,552;$

$D_{B}=(M_2^{*}-{(M_1^{*})}^2)h^2=(3,07-{(-0,09)}^2){7,2}^2\approx 158,73.$

$\sigma_{B}=\sqrt{D_B}=\sqrt{158,73}=12,6.$

Также для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют такие характеристики, как асимметрия и эксцесс.

Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

$a_s=\frac{m_3}{\sigma_B^3}$

Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции): если «длинная часть» кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна, если слева — отрицательна.

Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством:

$e_k=\frac{m_4}{\sigma_B^4}-3$

где $m_4$ — центральный эмпирический момент четвертого порядка.

Для нормального распределения эксцесс равен нулю. Поэтому если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая; если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая. При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.

Вычисляем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

$m_3=(M_3^*-3M_1^*M_2^*+2{(M_1^*)}^3)\cdot h^3=51,3;$

$m_4=(M_4^*-4M_3^*M_1^*+6M_2^*{(M_1^*)}^2-3{(M_1^*)}^4)\cdot h^4=59580,97;$

Найдем асимметрию и эксцесс:

$a_s=\frac{51,3}{{12,6}^3}=0,026$

$e_k=\frac{59580,97}{{12,6}^4}-3=-0,635$

IV. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона.

Проверим генеральную совокупность значений размера прибыли банков по критерию Пирсона $\chi^2$

Правило. Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу $H_o$ : генеральная совокупность распределена нормально, надо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия:

$\chi^2_{nabl}=\sum \frac{ {(n_i-n_i^{'})}^2}{n_i^{'}}$

и по таблице критических точек распределения $\chi^2$ , по заданному уровню значимости $\alpha$ и числу степеней свободы $k=s-3$ найти критическую точку $\chi^2_{kp}(\alpha;k)$ , где s — количество интервалов.

Если $\chi^2_{nabl}<\chi^2_{kp}$ — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если $\chi^2_{nabl}>\chi^2_{kp}$ — нулевую гипотезу отвергают.

Найдем теоретические частоты $n_i^'$ , для этого составим следующую таблицу.

Середины интервалов, $x_{i}^{*}$	Частоты интервалов, $n_i$	Произведем расчет, $x_{i}^{*}-x_B$	Произведем расчет, $V_i=\frac{(x_{i}^{*}-x_B)}{\sigma_B}$	Значения функции Гаусса, $\varphi(V_i)$	Произведем расчет, $\frac{nh}{\sigma_B}$	Теоретические частоты, $n_i^{'}=57 \cdot\varphi(V_i)$
20,4	1	-28,152	-2,23	0,0332	57	2
27,6	9	-20,952	-1,66	0,1006	57	6
34,8	13	-13,752	-1,09	0,2203	57	13
42	17	-6,552	-0,52	0,3485	57	20
49,2	23	0,648	0,05	0,3984	57	23
56,4	18	7,848	0,62	0,3292	57	19
63,6	11	15,048	1,19	0,1965	57	11
70,8	7	22,248	1,77	0,0833	57	5
78	1	29,448	2,34	0,0258	57	1
	$n=100$					$\sum n_i^{'}=100$

Вычислим $\chi^2_{nabl}$ , для чего составим расчетную таблицу.

$N^0$	$n_i$	$n_i^{'}$	$n_i-n_i^{'}$	${(n_i-n_i^{'})}^2$	$\frac{{(n_i-n_i^{'})}^2}{n_i^'}$	$n_i^2$	$\frac{n_i^2}{n_i^{'}}$
1	1	2	-1	1	0,5	1	0,5
2	9	6	3	9	1,5	81	13,5
3	13	13	0	0	0	169	13
4	17	20	-3	9	0,45	289	14,45
5	23	23	0	0	0	529	23
6	18	19	-1	1	0,05	324	17,05
7	11	11	0	0	0	121	11
8	7	5	2	4	0,8	49	9,8
9	1	1	0	0	0	1	1
$\sum$	100	100			Наблюдаемое значение критерия, $\chi^2_{nabl}=3,30$		103,30

Контроль:

$\sum\frac{n_i^2}{n_i^{'}}-n=\sum \frac{{(n_i-n_i^{'})}^2}{n_i^'}$

$\sum\frac{n_i^2}{n_i'}-n=103,3-100=3,3$

$\sum \frac{{(n_i-n_i')}^2}{n_i'}=3,3$

Вычисления произведены правильно.

Найдем число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки (число различных вариант) s=9;

$k=s-3=9-3=6.$

По таблице критических точек распределения $\chi^2$ по уровню значимости $\alpha = 0,025$ и числу степеней свободы k=6 находим $\chi^2_{kp}(0,025;6)=14,4.$

Так как $\chi^2_{nabl}<\chi^2_{kp}$ — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот незначительное. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

На рисунке построены нормальная (теоретическая) кривая по теоретическим частотам (зеленый график) и полигон наблюдаемых частот (коричневый график). Сравнение графиков наглядно показывает, что построенная теоретическая кривая удовлетворительно отражает данные наблюдений.

V. Интервальные оценки.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью $\gamma$ покрывает заданный параметр.

Интервальной оценкой (с надежностью $\gamma$ ) математического ожидания (а) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней $x_B$ при известном среднем квадратическом отклонении $\sigma$ генеральной совокупности служит доверительный интервал

$x_B-\frac{t\sigma}{\sqrt{n}}<a<x_B+\frac{t\sigma}{\sqrt{n}},$

где $\frac{t\sigma}{\sqrt{n}}=\delta$ — точность оценки, n — объем выборки, t — значение аргумента функции Лапласа $\phi (t)$ (см. приложение 2), при котором $\phi(t)=\frac{\gamma}{2}$ ;

при неизвестном среднем квадратическом отклонении $\sigma$ (и объеме выборки n<30)

$x_B-\frac{t_{\gamma}\cdot S}{\sqrt{n}}<a<x_B+\frac{t_{\gamma}\cdot S}{\sqrt{n}},$

$S=\sqrt{\frac{n}{n-1}D_B}$

где S — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, $t_{\gamma}$ находят по таблице приложения по заданным n и $\gamma$ .

В нашем примере среднее квадратическое отклонение известно, $\sigma_B=12,6$ . А также $x_B=48,55$ , $n=100$ , $\gamma=0,95$ . Поэтому для поиска доверительного интервала используем первую формулу:

$x_B-\frac{t\sigma}{\sqrt{n}}<a<x_B+\frac{t\sigma}{\sqrt{n}}$

Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения $\phi(t)=\frac{0,95}{2}=0,475.$ По таблице приложения находим t=1,96. Подставив t=1,96, $\sigma_B=12,6$ , $x_B=48,55$ , $n=100$ в формулу, окончательно получим искомый доверительный интервал:

$48,55-\frac{1,96\cdot 12,6}{10}<a<48,55+\frac{1,96\cdot 12,6}{10}$

$48,55-2,47<a<48,55+2,47$

$46,08<a<51,02$

Интервальной оценкой (с надежностью $\gamma$ ) среднего квадратического отклонения $\sigma$ нормально распределенного количественного признака Х по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению S служит доверительный интервал

$S(1-q)<\sigma<S(1+q),$ (при q<1), (*)

$0<\sigma<S(1+q),$ (при q>1),

где q — находят по таблице приложения по заданным n и $\gamma$ .

По данным $\gamma=0,95$ и n=100 по таблице приложения 4 найдем q=0,143. Так как q<1, то, подставив $S=\sqrt{\frac{n}{n-1}D_B}=\sqrt{\frac{100}{99}\cdot 158,73}\approx 12,66, \quad \quad q=0,143$ в соотношение (*), получим доверительный интервал:

$12,66(1-0,143)<\sigma<12,66(1+0,143)$

$10,85<\sigma<14,47$