Варианты для выполнения работы
I. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.
Почти все встречающиеся в жизни величины (урожайность сельскохозяйственных растений, продуктивности скота, производительность труда и заработная плата рабочих, объем производства продукции и т.д.) принимают неодинаковые значения у различных членов совокупности. Поэтому возникает необходимость в изучении их изменяемости. Это изучение начинается с проведения соответствующих наблюдений, обследований.
В результате наблюдений получают сведения о численной величине изучаемого признака у каждого члена данной совокупности.
Пример. Имеются данные о размере прибыли 100 коммерческих банков. Прибыль, млн. рублей.
| 30,2 | 51,9 | 43,1 | 58,9 | 34,1 | 55,2 | 47,9 | 43,7 | 53,2 | 34,9 |
| 47,8 | 65,7 | 37,8 | 68,6 | 48,4 | 67,5 | 27,3 | 66,1 | 52,0 | 55,6 |
| 54,1 | 26,9 | 53,6 | 42,5 | 59,3 | 44,8 | 52,8 | 42,3 | 55,9 | 48,1 |
| 44,5 | 69,8 | 47,3 | 35,6 | 70,1 | 39,5 | 70,3 | 33,7 | 51,8 | 56,1 |
| 28,4 | 48,7 | 41,9 | 58,1 | 20,4 | 56,3 | 46,5 | 41,8 | 59,5 | 38,1 |
| 41,4 | 70,4 | 31,4 | 52,5 | 45,2 | 52,3 | 40,2 | 60,4 | 27,6 | 57,4 |
| 29,3 | 53,8 | 46,3 | 40,1 | 50,3 | 48,9 | 35,8 | 61,7 | 49,2 | 45,8 |
| 45,3 | 71,5 | 35,1 | 57,8 | 28,1 | 57,6 | 49,6 | 45,5 | 36,2 | 63,2 |
| 61,9 | 25,1 | 65,1 | 49,7 | 62,1 | 46,1 | 39,9 | 62,4 | 50,1 | 33,1 |
| 33,3 | 49,8 | 39,8 | 45,9 | 37,3 | 78,0 | 64,9 | 28,8 | 62,5 | 58,7 |
Из данной таблицы видно, что интересующий нас признак (прибыль банков) меняется от одного члена совокупности к другому, варьирует. Варьирование есть изменяемость признака у отдельных членов совокупности.
Вариационным рядом называется последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке и соответствующих им частот.
Число, показывающее, сколько раз повторяется в данной совокупности каждое значение признака, называется частотой.
Составим ранжированный вариационный ряд (выпишем варианты в порядке возрастания):
| 20,4 | 25,1 | 26,9 | 27,3 | 27,6 | 28,1 | 28,4 | 28,8 | 29,3 | 30,2 |
| 31,4 | 33,1 | 33,3 | 33,7 | 34,1 | 34,9 | 35,1 | 35,6 | 35,8 | 36,2 |
| 37,3 | 37,8 | 38,1 | 39,5 | 39,8 | 39,9 | 40,1 | 40,2 | 41,4 | 41,8 |
| 41,9 | 42,3 | 42,5 | 43,1 | 43,7 | 44,5 | 44,8 | 45,2 | 45,3 | 45,5 |
| 45,8 | 45,9 | 46,1 | 46,3 | 46,5 | 47,3 | 47,8 | 47,9 | 48,1 | 48,4 |
| 48,7 | 48,9 | 49,2 | 49,6 | 49,7 | 49,8 | 50,1 | 50,3 | 51,8 | 51,9 |
| 52,0 | 52,3 | 52,5 | 52,8 | 53,2 | 53,6 | 53,8 | 54,1 | 55,2 | 55,6 |
| 55,9 | 56,1 | 56,3 | 57,4 | 57,6 | 57,8 | 58,1 | 58,7 | 58,9 | 59,3 |
| 59,5 | 60,4 | 61,7 | 61,9 | 62,1 | 62,4 | 62,5 | 63,2 | 64,9 | 65,1 |
| 65,7 | 66,1 | 67,5 | 68,6 | 69,8 | 70,1 | 70,3 | 70,4 | 71,5 | 78,0 |
В нашем случае каждое значение признака (варианта вариационного ряда) повторилось только один раз, т.е. значение частоты для всех вариант равно единице. Перейдем к интервальному вариационному ряду, так как интересующий нас признак принимает дробные, практически не повторяющиеся значения.
Для этого необходимо определить число интервалов (классов) и длину интервала (классного промежутка), после чего произвести разноску, т.е. подсчитать для каждого интервала число вариант, попавших в него.
Количество классов устанавливают в зависимости от степени точности, с которой ведется обработка, и количества объектов в выборке. Считается удобным при объеме выборки (n) в пределах от 30 до 60 вариант распределять их на 6-7 классов, при n от 60 до 100 вариант — на 7-8 классов, при n от 100 и более вариант — на 9-17 классов.
Нужное количество групп также может быть ориентировочно вычислено по формуле Стерджесса:
$$k=1+3,322lgn$$
где $k$ — число групп (классов, интервалов) ряда распределения; n — объем выборки.
Можно также использовать выражение:
$$k=\sqrt{n}.$$
При $n\le 70$ они дают примерно одинаковые результаты.
В рассматриваемом примере о размере прибыли коммерческих банков, n=100. Применяя формулу Стерджесса, получим:
$$k=1+3,322lg100=1+3,322\cdot 2=7,644\approx 8.$$
Однако $\sqrt{100}=10.$ Таким образом, число интервалов может быть равно 8, 9, 10 и т.д.
Нахождение нужного количества групп и их размеров часто бывает взаимообусловлено. Для того, чтобы как-то определиться с числом интервалов, найдем размах вариации — разность между наибольшей и наименьшей вариантой:
$$R=x_{max}-x_{min}$$
где $R$ — размах вариации,
$x_{max}$ — наибольшее значение варьирующего признака,
$x_{min}$ — наименьшее значение варьирующего признака.
Найдем размах вариации для рассматриваемой задачи:
$$R=78,0-20,4=57,6$$
Для того, чтобы найти длину интервала (величину классового промежутка) необходимо разделить размах вариации на число классов и полученную величину округлить таким образом, чтобы было удобно производить сначала разноску, а затем и различные вычисления. Рекомендую округлять до единиц, до которых округлены варианты в исходной таблице, в нашем случае до десятых.
$$h\approx \frac{R}{k}$$
Согласно формуле получаем
$$h\approx \frac{57,6}{8}=7,2$$
Теперь необходимо определиться с началом первого интервала. Для этого можно использовать формулу:
$$x_1\approx x_{min}-\frac{h}{2}$$
$$x_1\approx 20,4-\frac{7,2}{2}=16,8.$$
Замечание. За начало первого интервала можно принять некоторое значение, несколько меньшее $x_{min}$ или само значение $x_{min}$. Далее в табличном виде я покажу оба варианта.
Прибавив к началу первого интервала (нижней границе) шаг, получим верхнюю границу первого интервала и одновременно нижнюю границу второго интервала. Выполняя последовательно указанные действия, будем находить границы последующих интервалов до тех пор, пока не будет получено или перекрыто $x_{max}$.
Таким образом, верхняя граница одного интервала одновременно является нижней границей другого интервала. Чтобы не возникало сомнений, в какой интервал отнести варианту, попавшую на границу, условимся относить ее к верхнему интервалу.
Составим теперь рабочую таблицу для построения интервального вариационного ряда и произведем подсчет частот вариант, попавших в тот или иной интервал.
Как и обещал покажу две таблицы построения ряда:
1. Отсчет ведем от $x_{min}$, т.е. нижняя граница первого интервала совпадает с $x_{min}$.
| Группы банков по размеру прибыли (границы интервалов) | Количество банков, принадлежащих данной группе (частоты, $n_i$) | Накопленные частоты, $S_i$ |
| 20,4 — 27,6 | 4 | 4 |
| 27,6 — 34,8 | 11 | 15 |
| 34,8 — 42 | 16 | 31 |
| 42 — 49,2 | 21 | 52 |
| 49,2 — 56,4 | 21 | 73 |
| 56,4 — 63,6 | 15 | 88 |
| 63,6 — 70,8 | 10 | 98 |
| 70,8 — 78 | 2 | 100 |
2. Начало первого интервала определяем с помощью формулы: $x_1\approx x_{min}-\frac{h}{2}$.
| Группы банков по размеру прибыли (границы интервалов) | Количество банков, принадлежащих данной группе (частоты, $n_i$) | Накопленные частоты, $S_i$ |
| 16,8 — 24 | 1 | 1 |
| 24 — 31,2 | 9 | 10 |
| 31,2 — 38,4 | 13 | 23 |
| 38,4 — 45,6 | 17 | 40 |
| 45,6 — 52,8 | 23 | 63 |
| 52,8 — 60 | 18 | 81 |
| 60 — 67,2 | 11 | 92 |
| 67,2 — 74,4 | 7 | 99 |
| 74,4 — 81,6 | 1 | 100 |
Как мы видим в 1-м случае у нас получилось восемь интервалов, что полностью совпадает с результатом, который нам дала формула Стерджесса. Во втором случае у нас получилось девять интервалов, так как при поиске начала первого интервала пользовались специальной формулой.
Для дальнейшего исследования я буду пользоваться результатами второй таблицы, так как там ярко выражен модальный интервал (одна мода) и медиана практически точно попадает на середину вариационного ряда.
Мы получили интервальный вариационный ряд — упорядоченную совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами попаданий в каждый из них значений величины.
II. Графическая интерпретация вариационных рядов.
| № п/п | Границы интервалов, $[x_{i}; x_{i+1})$ | Середины интервалов, $x_{i}^{*}=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}$ | Частоты интервалов, $n_i$ | Относительные частоты $W_i=\frac{n_i}{n}$ | Плотность относит. частоты $\frac{W_i}{h}$ | Плотность частоты $\frac{n_i}{h}$ |
| 1 | 16,8 — 24 | 20,4 | 1 | 0,01 | 0,001 | 0,139 |
| 2 | 24 — 31,2 | 27,6 | 9 | 0,09 | 0,013 | 1,250 |
| 3 | 31,2 — 38,4 | 34,8 | 13 | 0,13 | 0,018 | 1,806 |
| 4 | 38,4 — 45,6 | 42 | 17 | 0,17 | 0,024 | 2,361 |
| 5 | 45,6 — 52,8 | 49,2 | 23 | 0,23 | 0,032 | 3,194 |
| 6 | 52,8 — 60 | 56,4 | 18 | 0,18 | 0,025 | 2,500 |
| 7 | 60 — 67,2 | 63,6 | 11 | 0,11 | 0,015 | 1,528 |
| 8 | 67,2 — 74,4 | 70,8 | 7 | 0,07 | 0,010 | 0,972 |
| 9 | 74,4 — 81,6 | 78 | 1 | 0,01 | 0,001 | 0,139 |
| $\sum=100$ | $\sum=1$ |
Строим графики:
Далее найдем моду вариационного ряда:
$$M_o(X)=x_{M_o}+h\frac{(n_2-n_1)}{(n_2-n_1)+(n_2-n_3)}$$
где
$x_{M_o}$ — начало модального интервала;
$h$ — длина частичного интервала (шаг);
$n_1$ — частота предмодального интервала;
$n_2$ — частота модального интервала;
$n_3$ — частота послемодального интервала.
Определим модальный интервал — интервал, имеющий наибольшую частоту. Из таблицы видно, что модальным является интервал (45,6 — 52,8).
$$M_o(X)=45,6+7,2\frac{(23-17)}{(23-17)+(23-18)}=$$
$$=45,6+7,2\cdot \frac{6}{6+5}=45,6+3,93=49,5$$
Медиана
Для интервального ряда медиана находится по формуле:
$$M_e(X)=x_{M_e}+h\frac{0,5n-S_{M_{e}-1}}{n_{M_e}}$$
где
$x_{M_e}$ — начало медианного интервала;
$h$ — длина частичного интервала (шаг);
$n$ — объем совокупности;
$S_{M_{e}-1}$ — накопленная частота интервала, предшествующая медианному;
$n_{M_e}$ — частота медианного интервала.
Определим медианный интервал — интервал, в котором впервые накопленная частота превышает половину объема выборки.Так как объем выборки n=100, то n/2=50. По таблице найдем интервал, где впервые накопленные частоты превысят это значение. Таким является интервал (45,6 — 52,8).
Получаем,
$$M_e(X)=45,6+7,2\frac{0,5\cdot 100-40}{23}\approx 48,7.$$
III. Расчет сводных характеристик выборки.
Для определения $x_B, D_{B}, \sigma_{B}$ составим расчетную таблицу. Для начала определимся с ложным нулем С. В качестве ложного нуля можно принять любую варианту. Максимальная простота вычислений достигается, если выбрать в качестве ложного нуля варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (часто такая варианта имеет наибольшую частоту).
Варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю. В нашем случае С=49,2.
Равноотстоящими называют варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью h.
Условными называют варианты, определяемые равенством:
$$U_i=\frac{(x_{i}^{*}-C)}{h}$$
Произведем расчет условных вариант согласно формуле:
$$U_1=\frac{20,4-49,2}{7,2}=-4$$
$$U_2=\frac{27,6-49,2}{7,2}=-3$$
$$U_3=\frac{34,8-49,2}{7,2}=-2$$
$$U_4=\frac{42-49,2}{7,2}=-1$$
$$U_5=\frac{49,2-49,2}{7,2}=0$$
$$U_6=\frac{56,4-49,2}{7,2}=1$$
$$U_7=\frac{63,6-49,2}{7,2}=2$$
$$U_8=\frac{70,8-49,2}{7,2}=3$$
$$U_9=\frac{78-49,2}{7,2}=4$$
| N п/п | Середины интервалов, $x_{i}^{*}$ | Частоты интервалов, $n_i$ | Условные варианты, $U_i$ | Произведения частот и условных вариант, $n_i\cdot U_i$ | Произведения частот и условных вариант, $n_i\cdot U_i^2$ | Произведения частот и условных вариант, $n_i\cdot U_i^3$ | Произведения частот и условных вариант, $n_i\cdot U_i^4$ | Произведения частот и условных вариант, $n_i\cdot (U_i+1)^2$ | Произведения частот и условных вариант, $n_i\cdot(U_i+1)^4$ |
| 1 | 20,4 | 1 | -4 | -4 | 16 | -64 | 256 | 9 | 81 |
| 2 | 27,6 | 9 | -3 | -27 | 81 | -243 | 729 | 36 | 144 |
| 3 | 34,8 | 13 | -2 | -26 | 52 | -104 | 208 | 13 | 13 |
| 4 | 42 | 17 | -1 | -17 | 17 | -17 | 17 | 0 | 0 |
| 5 | 49,2 | 23 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 23 | 23 |
| 6 | 56,4 | 18 | 1 | 18 | 18 | 18 | 18 | 72 | 288 |
| 7 | 63,6 | 11 | 2 | 22 | 44 | 88 | 176 | 99 | 891 |
| 8 | 70,8 | 7 | 3 | 21 | 63 | 189 | 567 | 112 | 1792 |
| 9 | 78 | 1 | 4 | 4 | 16 | 64 | 256 | 25 | 625 |
| $\sum=100$ | $\sum n_iU_i=-9$ | $\sum n_iU_i^2=307$ | $\sum n_i\cdot U_i^3=-69$ | $\sum n_i\cdot U_i^4=2227$ | $\sum n_i\cdot (U_i+1)^2=389$ | $\sum n_i\cdot(U_i+1)^4=3857$ |
Контроль: $$\sum n_i U_i^2 + 2\sum n_iU_i+n=\sum n_i{(U_i+1)}^2$$
$$\sum n_i U_i^2 + 2\sum n_iU_i+n=307+2\cdot (-9)+100=389$$
$$\sum n_i{(U_i+1)}^2=389$$
Контроль: $$\sum n_i U_i^4 + 4\sum n_iU_i^3+6\sum n_iU_i^2+4\sum n_iU_i+n=\sum n_i{(U_i+1)}^4$$
$$\sum n_i U_i^4 + 4\sum n_iU_i^3+6\sum n_iU_i^2+4\sum n_iU_i+n=$$
$$=2227+4\cdot (-69)+6 \cdot 307+4\cdot (-9)+100=3857$$
$$\sum n_i{(U_i+1)}^4=3857$$
Равенство выполнено, следовательно вычисления произведены верно.
Вычислим условные моменты 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков:
$$M_1^{*}=\frac{\sum n_iU_i}{n}=\frac{-9}{100}=-0,09;$$
$$M_2^{*}=\frac{\sum n_iU_i^2}{n}=\frac{307}{100}=3,07;$$
$$M_3^{*}=\frac{\sum n_iU_i^3}{n}=\frac{-69}{100}=-0,69;$$
$$M_4^{*}=\frac{\sum n_iU_i^4}{n}=\frac{2227}{100}=22,27.$$
Найдем выборочные среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение :
$$x_{B}=M_1^{*}\cdot h+C=-0,09\cdot 7,2+49,2=48,552;$$
$$D_{B}=(M_2^{*}-{(M_1^{*})}^2)h^2=(3,07-{(-0,09)}^2){7,2}^2\approx 158,73.$$
$$\sigma_{B}=\sqrt{D_B}=\sqrt{158,73}=12,6.$$
Также для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют такие характеристики, как асимметрия и эксцесс.
Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:
$$a_s=\frac{m_3}{\sigma_B^3}$$
Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции): если «длинная часть» кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна, если слева — отрицательна.
Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством:
$$e_k=\frac{m_4}{\sigma_B^4}-3$$
где $m_4$ — центральный эмпирический момент четвертого порядка.
Для нормального распределения эксцесс равен нулю. Поэтому если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая; если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая. При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.
Вычисляем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:
$$m_3=(M_3^*-3M_1^*M_2^*+2{(M_1^*)}^3)\cdot h^3=51,3;$$
$$m_4=(M_4^*-4M_3^*M_1^*+6M_2^*{(M_1^*)}^2-3{(M_1^*)}^4)\cdot h^4=59580,97;$$
Найдем асимметрию и эксцесс:
$$a_s=\frac{51,3}{{12,6}^3}=0,026$$
$$e_k=\frac{59580,97}{{12,6}^4}-3=-0,635$$
IV. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона.
Проверим генеральную совокупность значений размера прибыли банков по критерию Пирсона $\chi^2$
Правило. Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу $H_o$: генеральная совокупность распределена нормально, надо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия:
$$\chi^2_{nabl}=\sum \frac{ {(n_i-n_i’)}^2}{n_i’}$$
и по таблице критических точек распределения $\chi^2$, по заданному уровню значимости $\alpha$ и числу степеней свободы $k=s-3$ найти критическую точку $\chi^2_{kp}(\alpha;k)$, где s — количество интервалов.
Если $\chi^2_{nabl}<\chi^2_{kp}$ — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если $\chi^2_{nabl}>\chi^2_{kp}$ — нулевую гипотезу отвергают.
Найдем теоретические частоты $n_i’$, для этого составим следующую таблицу.
| Середины интервалов, $x_{i}^{*}$ | Частоты интервалов, $n_i$ | Произведем расчет, $x_{i}^{*}-x_B$ | Произведем расчет, $V_i=\frac{(x_{i}^{*}-x_B)}{\sigma_B}$ | Значения функции Гаусса, $\varphi(V_i)$ | Произведем расчет, $\frac{nh}{\sigma_B}$ | Теоретические частоты, $n_i’=57 \cdot\varphi(V_i)$ |
| 20,4 | 1 | -28,152 | -2,23 | 0,0332 | 57 | 2 |
| 27,6 | 9 | -20,952 | -1,66 | 0,1006 | 57 | 6 |
| 34,8 | 13 | -13,752 | -1,09 | 0,2203 | 57 | 13 |
| 42 | 17 | -6,552 | -0,52 | 0,3485 | 57 | 20 |
| 49,2 | 23 | 0,648 | 0,05 | 0,3984 | 57 | 23 |
| 56,4 | 18 | 7,848 | 0,62 | 0,3292 | 57 | 19 |
| 63,6 | 11 | 15,048 | 1,19 | 0,1965 | 57 | 11 |
| 70,8 | 7 | 22,248 | 1,77 | 0,0833 | 57 | 5 |
| 78 | 1 | 29,448 | 2,34 | 0,0258 | 57 | 1 |
| $n=100$ | $\sum n_i’=100$ |
Вычислим $\chi^2_{nabl}$, для чего составим расчетную таблицу.
| $N^0$ | $n_i$ | $n_i’$ | $n_i-n_i’$ | ${(n_i-n_i’)}^2$ | $\frac{{(n_i-n_i’)}^2}{n_i’}$ | $n_i^2$ | $\frac{n_i^2}{n_i’}$ |
| 1 | 1 | 2 | -1 | 1 | 0,5 | 1 | 0,5 |
| 2 | 9 | 6 | 3 | 9 | 1,5 | 81 | 13,5 |
| 3 | 13 | 13 | 0 | 0 | 0 | 169 | 13 |
| 4 | 17 | 20 | -3 | 9 | 0,45 | 289 | 14,45 |
| 5 | 23 | 23 | 0 | 0 | 0 | 529 | 23 |
| 6 | 18 | 19 | -1 | 1 | 0,05 | 324 | 17,05 |
| 7 | 11 | 11 | 0 | 0 | 0 | 121 | 11 |
| 8 | 7 | 5 | 2 | 4 | 0,8 | 49 | 9,8 |
| 9 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| $\sum$ | 100 | 100 | Наблюдаемое значение критерия, $\chi^2_{nabl}=3,30$ | 103,30 |
Контроль: $$\sum\frac{n_i^2}{n_i’}-n=\sum \frac{{(n_i-n_i’)}^2}{n_i’}$$
$$\sum\frac{n_i^2}{n_i’}-n=103,3-100=3,3$$
$$\sum \frac{{(n_i-n_i’)}^2}{n_i’}=3,3$$
Вычисления произведены правильно.
Найдем число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки (число различных вариант) s=9; $$k=s-3=9-3=6.$$
По таблице критических точек распределения $\chi^2$ по уровню значимости $\alpha = 0,025$ и числу степеней свободы k=6 находим $\chi^2_{kp}(0,025;6)=14,4.$
Так как $\chi^2_{nabl}<\chi^2_{kp}$ — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот незначительное. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.
На рисунке построены нормальная (теоретическая) кривая по теоретическим частотам (зеленый график) и полигон наблюдаемых частот (коричневый график). Сравнение графиков наглядно показывает, что построенная теоретическая кривая удовлетворительно отражает данные наблюдений.
V. Интервальные оценки.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью $\gamma$ покрывает заданный параметр.
Интервальной оценкой (с надежностью $\gamma$) математического ожидания (а) нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней $x_B$ при известном среднем квадратическом отклонении $\sigma$ генеральной совокупности служит доверительный интервал
$$x_B-\frac{t\sigma}{\sqrt{n}}<a<x_B+\frac{t\sigma}{\sqrt{n}},$$
где $\frac{t\sigma}{\sqrt{n}}=\delta$ — точность оценки, n — объем выборки, t — значение аргумента функции Лапласа $\phi (t)$ (см. приложение 2), при котором $\phi(t)=\frac{\gamma}{2}$;
при неизвестном среднем квадратическом отклонении $\sigma$ (и объеме выборки n<30)
$$x_B-\frac{t_{\gamma}\cdot S}{\sqrt{n}}<a<x_B+\frac{t_{\gamma}\cdot S}{\sqrt{n}},$$
$$S=\sqrt{\frac{n}{n-1}D_B}$$
где S — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, $t_{\gamma}$ находят по таблице приложения по заданным n и $\gamma$.
В нашем примере среднее квадратическое отклонение известно, $\sigma_B=12,6$. А также $x_B=48,55$; $n=100$; $\gamma=0,95$. Поэтому для поиска доверительного интервала используем первую формулу:
$$x_B-\frac{t\sigma}{\sqrt{n}}<a<x_B+\frac{t\sigma}{\sqrt{n}}$$
Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения $\phi(t)=\frac{0,95}{2}=0,475.$ По таблице приложения находим t=1,96. Подставив t=1,96, $\sigma_B=12,6$, $x_B=48,55$, $n=100$ в формулу, окончательно получим искомый доверительный интервал:
$$48,55-\frac{1,96\cdot 12,6}{10}<a<48,55+\frac{1,96\cdot 12,6}{10}$$
$$48,55-2,47<a<48,55+2,47$$
$$46,08<a<51,02$$
Интервальной оценкой (с надежностью $\gamma$) среднего квадратического отклонения $\sigma$ нормально распределенного количественного признака Х по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению S служит доверительный интервал
$S(1-q)<\sigma<S(1+q),$ (при q<1), (*)
$0<\sigma<S(1+q),$ (при q>1),
где q — находят по таблице приложения по заданным n и $\gamma$.
По данным $\gamma=0,95$ и n=100 по таблице приложения 4 найдем q=0,143. Так как q<1, то, подставив $S=\sqrt{\frac{n}{n-1}D_B}=\sqrt{\frac{100}{99}\cdot 158,73}\approx 12,66, \quad \quad q=0,143$ в соотношение (*), получим доверительный интервал:
$$12,66(1-0,143)<\sigma<12,66(1+0,143)$$
$$10,85<\sigma<14,47$$